Przejdź do treści
Maturka

Wybrane wzory matematyczne

Karta wzorów

Na maturze dostajesz kartę wzorów CKE – warto wiedzieć, co na niej jest, i szybko ją przeszukiwać. 49 wzorów z lekcji jest na karcie, a 16 trzeba mieć w głowie.

Ucz się z fiszek Ściągi do druku

Oficjalną kartę pobierzesz ze strony CKE („Wybrane wzory matematyczne – matura od 2023”). Wydrukuj ją i używaj przy rozwiązywaniu arkuszy – tak samo jak na egzaminie.

65 wzorów

Liczby rzeczywiste

  • Związek NWD i NWW

    zapamiętaj
    NWD(a,b)⋅NWW(a,b)=a⋅b\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b) = a\cdot b

    Sprawdzenie: 12⋅72=864=24⋅3612\cdot 72 = 864 = 24\cdot 36.

    Lekcja: Działania na liczbach →

  • Błąd bezwzględny

    karta CKE
    Δ=∣x−a∣\Delta = |x - a|
    Lekcja: Działania na liczbach →

  • Błąd względny

    karta CKE
    δ=∣x−a∣∣x∣⋅100%\delta = \frac{|x - a|}{|x|}\cdot 100\%

    Dzielimy przez wartość dokładną xx.

    Lekcja: Działania na liczbach →

  • Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie

    karta CKE
    am⋅an=am+naman=am−na^m\cdot a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
    Lekcja: Potęgi i pierwiastki →

  • Potęga potęgi, iloczynu i ilorazu

    karta CKE
    (am)n=am⋅n(ab)n=anbn(ab)n=anbn(a^m)^n = a^{m\cdot n} \qquad (ab)^n = a^n b^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
    Lekcja: Potęgi i pierwiastki →

  • Pierwiastek iloczynu i ilorazu

    zapamiętaj
    ab=a⋅bab=ab\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

    Dla a≥0a \ge 0, b>0b > 0.

    Lekcja: Potęgi i pierwiastki →

  • Usuwanie niewymierności

    zapamiętaj
    1a=aa1a+b=a−ba−b2\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} \qquad \frac{1}{\sqrt{a}+b} = \frac{\sqrt{a}-b}{a-b^2}
    Lekcja: Potęgi i pierwiastki →

  • Definicja logarytmu

    karta CKE
    log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b

    Założenia: a>0a > 0, a≠1a \neq 1, b>0b > 0.

    Lekcja: Logarytmy →

  • Logarytm iloczynu i ilorazu

    karta CKE
    log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡aylog⁡axy=log⁡ax−log⁡ay\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \qquad \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y
    Lekcja: Logarytmy →

  • Logarytm potęgi

    karta CKE
    log⁡axk=k⋅log⁡ax\log_a x^k = k\cdot\log_a x
    Lekcja: Logarytmy →

  • Zamiana podstawy

    karta CKE
    log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}
    Lekcja: Logarytmy →

  • O ile procent zmieniła się wartość

    zapamiętaj
    nowa−starastara⋅100%\frac{\text{nowa} - \text{stara}}{\text{stara}}\cdot 100\%

    Zawsze dzielisz przez wartość starą (początkową).

    Lekcja: Procenty →

  • Kapitał po n okresach

    karta CKE
    Kn=K(1+p100)nK_n = K\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

    KK – kapitał początkowy, pp – oprocentowanie w jednym okresie, nn – liczba okresów kapitalizacji.

    Lekcja: Procenty →

  • Wartość bezwzględna

    karta CKE
    ∣a∣={a,gdy a≥0−a,gdy a<0|a| = \begin{cases} a, & \text{gdy } a \ge 0 \\ -a, & \text{gdy } a < 0 \end{cases}
    Lekcja: Wartość bezwzględna i przedziały →

  • Nierówności z wartością bezwzględną

    zapamiętaj
    ∣x−a∣≤r  ⟺  x∈⟨a−r, a+r⟩∣x−a∣≥r  ⟺  x∈(−∞, a−r⟩∪⟨a+r, +∞)|x - a| \le r \iff x \in \langle a - r,\, a + r\rangle \qquad |x - a| \ge r \iff x \in (-\infty,\, a - r\rangle \cup \langle a + r,\, +\infty)

    Dla r>0r > 0. „Odległość od aa co najwyżej rr” to odcinek wokół aa; „co najmniej rr” – dwie półproste.

    Lekcja: Wartość bezwzględna i przedziały →

Wyrażenia algebraiczne

  • Kwadrat sumy i różnicy

    karta CKE
    (a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
    Lekcja: Wzory skróconego mnożenia →

  • Różnica kwadratów

    karta CKE
    a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
    Lekcja: Wzory skróconego mnożenia →

  • Sześcian sumy i różnicy

    karta CKE
    (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \qquad (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
    Lekcja: Wzory skróconego mnożenia →

  • Suma i różnica sześcianów

    karta CKE
    a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \qquad a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
    Lekcja: Wzory skróconego mnożenia →

Równania i nierówności

  • Wyróżnik

    karta CKE
    Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
    Lekcja: Równania kwadratowe →

  • Postać iloczynowa

    karta CKE
    ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

    Gdy Δ≥0\Delta \ge 0. Pozwala od razu odczytać pierwiastki: z 2(x−1)(x+3)=02(x - 1)(x + 3) = 0 mamy x=1x = 1 lub x=−3x = -3.

    Lekcja: Równania kwadratowe →

  • Iloczyn równy zero

    zapamiętaj
    A⋅B⋅C=0  ⟺  A=0∨B=0∨C=0A\cdot B\cdot C = 0 \iff A = 0 \lor B = 0 \lor C = 0
    Lekcja: Równania wielomianowe i wymierne →

  • Ułamek równy zero

    zapamiętaj
    W(x)P(x)=0  ⟺  W(x)=0  ∧  P(x)≠0\frac{W(x)}{P(x)} = 0 \iff W(x) = 0 \;\land\; P(x) \neq 0
    Lekcja: Równania wielomianowe i wymierne →

Funkcje

Ciągi

  • n-ty wyraz

    karta CKE
    an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r
    Lekcja: Ciąg arytmetyczny →

  • Suma n początkowych wyrazów

    karta CKE
    Sn=a1+an2⋅n=2a1+(n−1)r2⋅nS_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2}\cdot n
    Lekcja: Ciąg arytmetyczny →

  • Trzy kolejne wyrazy

    karta CKE
    a,b,c – arytmetyczny  ⟺  b=a+c2  ⟺  2b=a+ca, b, c \text{ – arytmetyczny} \iff b = \frac{a + c}{2} \iff 2b = a + c

    Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiednich.

    Lekcja: Ciąg arytmetyczny →

  • n-ty wyraz

    karta CKE
    an=a1⋅qn−1a_n = a_1\cdot q^{n-1}
    Lekcja: Ciąg geometryczny →

  • Suma n początkowych wyrazów

    karta CKE
    Sn=a1⋅1−qn1−q(q≠1)Sn=n⋅a1(q=1)S_n = a_1\cdot\frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1) \qquad S_n = n\cdot a_1 \quad (q = 1)
    Lekcja: Ciąg geometryczny →

  • Trzy kolejne wyrazy

    karta CKE
    a,b,c – geometryczny  ⟺  b2=a⋅ca, b, c \text{ – geometryczny} \iff b^2 = a\cdot c
    Lekcja: Ciąg geometryczny →

Trygonometria

  • Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

    karta CKE
    sin⁡α=accos⁡α=bctg⁡α=ab\sin\alpha = \frac{a}{c} \qquad \cos\alpha = \frac{b}{c} \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}
    Lekcja: Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym →

  • Podstawowe tożsamości

    karta CKE
    sin⁡2α+cos⁡2α=1tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
    Lekcja: Tożsamości i kąty dowolne →

  • Wzory dla 180° − α

    karta CKE
    sin⁡(180°−α)=sin⁡αcos⁡(180°−α)=−cos⁡αtg⁡(180°−α)=−tg⁡α\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha \qquad \cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha \qquad \operatorname{tg}(180° - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha
    Lekcja: Tożsamości i kąty dowolne →

Planimetria

  • Twierdzenie Pitagorasa

    zapamiętaj
    a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

    W trójkącie prostokątnym; cc – przeciwprostokątna. Działa też odwrotnie: jeśli a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, trójkąt jest prostokątny.

    Lekcja: Kąty i trójkąty →

  • Trójkąt równoboczny o boku a

    karta CKE
    h=a32P=a234h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \qquad P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}
    Lekcja: Kąty i trójkąty →

  • Twierdzenie sinusów

    karta CKE
    asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R

    R – promień okręgu opisanego na trójkącie.

    Lekcja: Kąty i trójkąty →

  • Twierdzenie cosinusów

    karta CKE
    c2=a2+b2−2abcos⁡γc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma

    Uogólnienie Pitagorasa: dla γ=90°\gamma = 90° mamy cos⁡γ=0\cos\gamma = 0.

    Lekcja: Kąty i trójkąty →

  • Skala a obwody i pola

    zapamiętaj
    Obw2Obw1=kP2P1=k2\frac{\text{Obw}_2}{\text{Obw}_1} = k \qquad \frac{P_2}{P_1} = k^2

    Pola zmieniają się z kwadratem skali: dwa razy dłuższe boki → cztery razy większe pole.

    Lekcja: Podobieństwo i twierdzenie Talesa →

  • Twierdzenie Talesa

    karta CKE
    ∣OA∣∣AB∣=∣OC∣∣CD∣∣OA∣∣OB∣=∣OC∣∣OD∣\frac{|OA|}{|AB|} = \frac{|OC|}{|CD|} \qquad \frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OC|}{|OD|}
    Lekcja: Podobieństwo i twierdzenie Talesa →

  • Pola

    karta CKE
    Proˊwnoległoboku=a⋅h=absin⁡αPrombu=d1d22Ptrapezu=a+b2⋅hP_{\text{równoległoboku}} = a\cdot h = ab\sin\alpha \qquad P_{\text{rombu}} = \frac{d_1 d_2}{2} \qquad P_{\text{trapezu}} = \frac{a + b}{2}\cdot h
    Lekcja: Czworokąty →

  • Promień okręgu wpisanego w dowolny trójkąt

    karta CKE
    r=2Pa+b+cr = \frac{2P}{a + b + c}
    Lekcja: Okręgi i koła →

  • Pole trójkąta

    karta CKE
    P=12a⋅haP=12absin⁡γP = \frac{1}{2}a\cdot h_a \qquad P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma

    Drugi wzór – gdy znasz dwa boki i kąt między nimi.

    Lekcja: Pola figur →

  • Trójkąt równoboczny

    karta CKE
    P=a234P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}
    Lekcja: Pola figur →

  • Koło, wycinek i łuk

    karta CKE
    P=πr2Pwycinka=α360°⋅πr2l=α360°⋅2πrP = \pi r^2 \qquad P_{\text{wycinka}} = \frac{\alpha}{360°}\cdot\pi r^2 \qquad l = \frac{\alpha}{360°}\cdot 2\pi r

    Obwód okręgu: 2πr2\pi r.

    Lekcja: Pola figur →

Geometria analityczna

Stereometria

  • Objętość i pole

    karta CKE
    V=Pp⋅HPc=2Pp+PbV = P_p\cdot H \qquad P_c = 2P_p + P_b

    PpP_p – pole podstawy, HH – wysokość, PbP_b – pole powierzchni bocznej.

    Lekcja: Graniastosłupy →

  • Przekątna prostopadłościanu i sześcianu

    karta CKE
    d=a2+b2+c2dszesˊcianu=a3d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \qquad d_{\text{sześcianu}} = a\sqrt{3}
    Lekcja: Graniastosłupy →

  • Objętość i pole

    karta CKE
    V=13Pp⋅HPc=Pp+PbV = \frac{1}{3}P_p\cdot H \qquad P_c = P_p + P_b
    Lekcja: Ostrosłupy →

  • Tworząca stożka

    zapamiętaj
    l2=r2+H2l^2 = r^2 + H^2
    Lekcja: Bryły obrotowe →

Kombinatoryka i prawdopodobieństwo

  • Reguła mnożenia

    zapamiętaj
    n1⋅n2⋅…⋅nkn_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k

    Jeśli wybór składa się z kk etapów, a w każdym jest odpowiednio n1,n2,…n_1, n_2, \ldots możliwości – mnożysz.

    Lekcja: Kombinatoryka →

  • Reguła dodawania

    zapamiętaj
    ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣|A \cup B| = |A| + |B|

    Gdy zbiory możliwości są rozłączne (albo jedno, albo drugie) – dodajesz.

    Lekcja: Kombinatoryka →

  • Ustawienia n elementów (permutacje)

    karta CKE
    n!=1⋅2⋅…⋅nn! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n

    Np. 4 osoby w kolejce ustawisz na 4!=244! = 24 sposoby.

    Lekcja: Kombinatoryka →

  • Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

    karta CKE
    P(A)=∣A∣∣Ω∣P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}

    ∣Ω∣|\Omega| – liczba wszystkich (jednakowo prawdopodobnych) wyników, ∣A∣|A| – liczba wyników sprzyjających.

    Lekcja: Prawdopodobieństwo →

Statystyka

  • Średnia arytmetyczna

    karta CKE
    xˉ=x1+x2+…+xnn\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}
    Lekcja: Średnia, mediana, dominanta, odchylenie →

  • Średnia ważona

    karta CKE
    xˉ=w1x1+w2x2+…+wkxkw1+w2+…+wk\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \ldots + w_k x_k}{w_1 + w_2 + \ldots + w_k}

    Wagi to np. liczby osób, które dostały daną ocenę.

    Lekcja: Średnia, mediana, dominanta, odchylenie →

  • Wariancja i odchylenie standardowe

    karta CKE
    σ2=(x1−xˉ)2+…+(xn−xˉ)2nσ=σ2\sigma^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n} \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2}

    Odchylenie mówi, jak bardzo dane są rozrzucone wokół średniej.

    Lekcja: Średnia, mediana, dominanta, odchylenie →