Wartość bezwzględna i przedziały

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

|a| = \begin{cases} a, & \text{gdy } a \ge 0 \\ -a, & \text{gdy } a < 0 \end{cases}

Najważniejsza intuicja: $|a|$ to odległość liczby $a$ od zera na osi liczbowej, a $|x - a|$ to odległość między $x$ i $a$ . Dlatego $|5| = 5$ i $|-5| = 5$ – obie liczby są 5 jednostek od zera.

Przedziały

Zapis	Znaczenie	Końce
$(a, b)$	$a < x < b$	oba otwarte
$\langle a, b\rangle$	$a \le x \le b$	oba domknięte
$\langle a, b)$	$a \le x < b$	lewy domknięty
$(-\infty, a\rangle$	$x \le a$	przy $\infty$ zawsze nawias okrągły
$(a, +\infty)$	$x > a$

Na osi liczbowej koniec domknięty zaznaczamy zamalowanym kółkiem, a otwarty – pustym.

Działania na zbiorach

Suma $A \cup B$ – elementy należące do $A$ lub do $B$ .
Iloczyn (część wspólna) $A \cap B$ – elementy należące do $A$ i do $B$ .
Różnica $A \setminus B$ – elementy z $A$ , które nie należą do $B$ .

Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Nierówności z wartością bezwzględną

|x - a| \le r \iff x \in \langle a - r,\, a + r\rangle \qquad |x - a| \ge r \iff x \in (-\infty,\, a - r\rangle \cup \langle a + r,\, +\infty)

Dla $r > 0$ . „Odległość od $a$ co najwyżej $r$ ” to odcinek wokół $a$ ; „co najmniej $r$ ” – dwie półproste.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Zapisz wyrażenie w postaci |x − a|
Np. $|x + 1| = |x - (-1)|$ – to odległość od liczby $-1$ .
2
Odczytaj środek a i promień r
W nierówności $|x - a| \le r$ środkiem jest $a$ , a $r$ – dopuszczalną odległością.
3
Zaznacz rozwiązanie na osi
Odmierz $r$ w lewo i w prawo od $a$ . Uważaj na kółka pełne i puste.
4
Zapisz wynik jako przedział
Sprawdź, czy końce są domknięte ( $\le$ , $\ge$ ), czy otwarte ( $<$ , $>$ ).

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Nierówność „co najwyżej”

Rozwiąż nierówność $|x - 2| \le 3$ .

Szukamy liczb, których odległość od $2$ jest nie większa niż $3$ .
$2 - 3 = -1$ oraz $2 + 3 = 5$ .
Końce należą do rozwiązania, bo nierówność jest nieostra ( $\le$ ).

Odpowiedź: $x \in \langle -1, 5\rangle$

Przykład 2

Nierówność „więcej niż”

Rozwiąż nierówność $|x + 1| > 4$ .

$|x + 1| = |x - (-1)|$ – odległość od $-1$ ma być większa niż $4$ .
$-1 - 4 = -5$ oraz $-1 + 4 = 3$ .
Rozwiązanie to liczby „dalej niż 4” – na lewo od $-5$ i na prawo od $3$ , bez końców.

Odpowiedź: $x \in (-\infty, -5) \cup (3, +\infty)$

Przykład 3

Działania na przedziałach

Dane są $A = \langle -2, 4)$ i $B = (1, 6\rangle$ . Wyznacz $A \cap B$ , $A \cup B$ i $A \setminus B$ .

$A \cap B$ : liczby w obu przedziałach, czyli od $1$ (bez) do $4$ (bez): $(1, 4)$ .
$A \cup B$ : od $-2$ (z) do $6$ (z): $\langle -2, 6\rangle$ .
$A \setminus B$ : liczby z $A$ , które nie są w $B$ : od $-2$ do $1$ , a $1$ należy, bo nie jest w $B$ : $\langle -2, 1\rangle$ .
$B$ zaczyna się od $1$ otwarcie, więc $1 \notin B$ .

Odpowiedź: $(1, 4)$ ; $\langle -2, 6\rangle$ ; $\langle -2, 1\rangle$

Typowe błędy

Rozwiązywanie $|x - 2| \le 3$ jako tylko $x \le 5$ – zapominasz o drugim końcu.
Domykanie przedziału przy nieskończoności: $\langle 3, +\infty\rangle$ – źle, przy $\infty$ zawsze nawias okrągły.
Mylenie kółek pełnych i pustych na osi przy nierównościach ostrych i nieostrych.