Procenty · Maturka

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Procent to setna część całości: $1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$ . Aby obliczyć $p\%$ z liczby $a$ , mnożysz: $\frac{p}{100}\cdot a$ . Np. $15\%$ z $240$ to $0{,}15\cdot 240 = 36$ .

Podwyżki i obniżki

Najwygodniej myśleć o zmianach procentowych jak o mnożnikach:

Zmiana	Mnożnik	Przykład
podwyżka o $p\%$	$1 + \frac{p}{100}$	o $20\%$ : $\cdot 1{,}2$
obniżka o $p\%$	$1 - \frac{p}{100}$	o $15\%$ : $\cdot 0{,}85$

O ile procent zmieniła się wartość

\frac{\text{nowa} - \text{stara}}{\text{stara}}\cdot 100\%

Zawsze dzielisz przez wartość starą (początkową).

Punkty procentowe

Gdy oprocentowanie rośnie z $20\%$ do $25\%$ , to wzrosło o 5 punktów procentowych, ale o 25% (bo $\frac{5}{20} = 0{,}25$ ). Punkty procentowe to różnica, procenty – zmiana względna.

Procent składany (lokaty)

Kapitał po n okresachna karcie wzorów →

K_n = K\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

$K$ – kapitał początkowy, $p$ – oprocentowanie w jednym okresie, $n$ – liczba okresów kapitalizacji.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Zapisz dane
Ustal, która wartość jest początkowa (stara), a która końcowa (nowa).
2
Zamień procent na mnożnik
Podwyżka o $20\%$ to $\cdot 1{,}2$ , obniżka o $15\%$ to $\cdot 0{,}85$ .
3
Ułóż równanie lub wyrażenie
$\text{nowa} = \text{stara}\cdot\text{mnożnik}$ . Gdy szukasz wartości początkowej – oznacz ją jako $x$ .
4
Rozwiąż
Wykonaj działanie lub rozwiąż równanie liniowe.
5
Sprawdź sensowność
Po obniżce cena musi być mniejsza, po podwyżce większa. Napisz odpowiedź z jednostką.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

O ile procent?

Cena towaru wzrosła z $80$ zł do $92$ zł. O ile procent wzrosła?

Stara cena: $80$ , nowa: $92$ . Różnica: $92 - 80 = 12$ .
Dzielimy przez starą cenę: $\frac{12}{80} = 0{,}15$ .
Zmianę zawsze odnosimy do wartości początkowej.
Zamieniamy na procenty: $0{,}15\cdot 100\% = 15\%$ .

Odpowiedź: Cena wzrosła o $15\%$ .

Przykład 2

Dwie kolejne zmiany

Kurtka kosztowała $200$ zł. Cenę obniżono o $20\%$ , a potem nową cenę podwyższono o $20\%$ . Ile kosztuje teraz?

Po obniżce: $200\cdot 0{,}8 = 160$ zł.
Po podwyżce: $160\cdot 1{,}2 = 192$ zł.
Druga zmiana liczy się od nowej ceny (160 zł), nie od 200 zł.

Odpowiedź: $192$ zł

Przykład 3

Lokata

Wpłacono $5000$ zł na lokatę oprocentowaną $4\%$ w skali roku z roczną kapitalizacją odsetek. Ile będzie na lokacie po $2$ latach (bez podatku)?

$K = 5000$ , $p = 4$ , $n = 2$ .
$K_2 = 5000\cdot 1{,}04^2 = 5000\cdot 1{,}0816$
$K_2 = 5408$ zł

Odpowiedź: $5408$ zł

Typowe błędy

Dzielenie przez nową wartość zamiast przez starą przy liczeniu „o ile procent”.
Dodawanie kolejnych procentów: $-20\% + 20\% = 0\%$ – źle, zmiany się mnoży.
Mylenie punktów procentowych z procentami.