Logarytmy · Maturka

Spis treści

Co musisz wiedzieć

Logarytm odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, żeby otrzymać daną liczbę? Np. $\log_2 8 = 3$ , bo $2^3 = 8$ .

\log_a b = c \iff a^c = b

Założenia: $a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$ .

Zapis $\log b$ (bez podstawy) oznacza logarytm dziesiętny, czyli $\log_{10} b$ . Np. $\log 1000 = 3$ .

Logarytm iloczynu i ilorazuna karcie wzorów →

\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \qquad \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y

\log_a x^k = k\cdot\log_a x

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Sprawdź podstawy
Jeśli logarytmy mają tę samą podstawę – możesz je łączyć prawami działań.
2
Połącz logarytmy
Suma → logarytm iloczynu, różnica → logarytm ilorazu, liczba przed logarytmem → wykładnik.
3
Zapisz liczbę jako potęgę podstawy
Np. $\log_3 81$ : $81 = 3^4$ , więc wynik to $4$ .
4
Odczytaj wynik z definicji
$\log_a a^c = c$ .

Przykład 1

Z definicji

Oblicz $\log_2 32 + \log_3 \frac{1}{9}$ .

Odpowiedź: $3$

Przykład 2

Suma logarytmów

Oblicz $\log_6 4 + \log_6 9$ .

Te same podstawy, więc łączymy: $\log_6 (4\cdot 9) = \log_6 36$ .
Osobno żaden z tych logarytmów nie jest liczbą całkowitą – dopiero połączone dają ładny wynik.
$36 = 6^2$ , więc $\log_6 36 = 2$ .

Odpowiedź: $2$

Przykład 3

Liczba przed logarytmem

Oblicz $2\log_5 10 - \log_5 4$ .

Odpowiedź: $2$

$\log (a + b) = \log a + \log b$ – źle! Suma logarytmów to logarytm iloczynu, nie sumy.
$\frac{\log_a x}{\log_a y} = \log_a x - \log_a y$ – źle! Różnica logarytmów to logarytm ilorazu, a iloraz logarytmów to coś innego.
Łączenie logarytmów o różnych podstawach, np. $\log_2 8 + \log_3 9 = \log_6 72$ – nie wolno.