Potęgi i pierwiastki

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Potęga to skrócony zapis mnożenia: $a^n = a\cdot a\cdot\ldots\cdot a$ ( $n$ razy). Na maturze potęgi pojawiają się też z wykładnikiem zerowym, ujemnym i ułamkowym – każdy z nich ma prostą definicję.

Wykładnik	Definicja	Przykład
zero	$a^0 = 1$ (dla $a\neq 0$ )	$7^0 = 1$
ujemny	$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$	$2^{-3} = \frac{1}{8}$
ułamkowy	$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$	$9^{\frac{1}{2}} = 3$
wymierny	$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$	$8^{\frac{2}{3}} = 4$

Prawa działań na potęgach

Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawiena karcie wzorów →

a^m\cdot a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Potęga potęgi, iloczynu i ilorazuna karcie wzorów →

(a^m)^n = a^{m\cdot n} \qquad (ab)^n = a^n b^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

Pierwiastki

Pierwiastek iloczynu i ilorazu

\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Dla $a \ge 0$ , $b > 0$ .

Wyłączanie czynnika spod pierwiastka: szukasz w liczbie podpierwiastkowej kwadratu liczby. $\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt{2}$ , $\sqrt{72} = \sqrt{36\cdot 2} = 6\sqrt{2}$ .

Usuwanie niewymierności z mianownika: mnożysz licznik i mianownik przez taki czynnik, żeby pierwiastek zniknął. Przy sumie lub różnicy korzystasz ze wzoru $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ .

Usuwanie niewymierności

\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} \qquad \frac{1}{\sqrt{a}+b} = \frac{\sqrt{a}-b}{a-b^2}

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Znajdź wspólną podstawę
Zapisz każdą liczbę jako potęgę tej samej liczby (najczęściej $2$ , $3$ lub $5$ ).
2
Zamień pierwiastki na potęgi
$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ – wtedy możesz stosować prawa potęg.
3
Zastosuj prawa działań
Przy mnożeniu dodajesz wykładniki, przy dzieleniu odejmujesz, przy potędze potęgi mnożysz.
4
Uprość i zapisz wynik
Oblicz wykładnik, a jeśli trzeba – wróć do zapisu z pierwiastkiem.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Wspólna podstawa

Oblicz $\dfrac{2^5\cdot 4^{-1}}{8^{\frac{1}{3}}}$ .

Zamieniamy na podstawę $2$ : $4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$ , $8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^1$ .
Licznik: $2^5\cdot 2^{-2} = 2^{5+(-2)} = 2^3$ .
Dzielenie: $\frac{2^3}{2^1} = 2^{3-1} = 2^2 = 4$ .

Odpowiedź: $4$

Przykład 2

Wyłączanie czynnika

Uprość $\sqrt{50} - \sqrt{18} + \sqrt{8}$ .

$\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt{2}$
$\sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = 3\sqrt{2}$ , $\sqrt{8} = \sqrt{4\cdot 2} = 2\sqrt{2}$
$5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
Pierwiastki podobne dodajemy jak wyrazy podobne: $5x - 3x + 2x = 4x$ .

Odpowiedź: $4\sqrt{2}$

Przykład 3

Niewymierność w mianowniku

Usuń niewymierność z mianownika: $\dfrac{4}{\sqrt{5}+1}$ .

Mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{5}-1$ : $\frac{4(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}$ .
Mianownik: $(\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$ .
Wzór $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ .
$\frac{4(\sqrt{5}-1)}{4} = \sqrt{5} - 1$

Odpowiedź: $\sqrt{5}-1$

Typowe błędy

$2^3\cdot 2^4 = 2^{12}$ – źle! Przy mnożeniu wykładniki się dodaje: $2^7$ .
$\sqrt{9+16} = 3 + 4$ – źle! Pierwiastek z sumy to nie suma pierwiastków: $\sqrt{25} = 5$ .
$a^{-1} = -a$ – źle! Ujemny wykładnik oznacza odwrotność: $a^{-1} = \frac{1}{a}$ .