Działania na liczbach

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Zanim zaczniesz rozwiązywać równania czy liczyć pola, musisz sprawnie liczyć. Na maturze nie ma kalkulatora z funkcjami – jest prosty kalkulator i Twoja głowa. Zacznijmy od tego, jakie w ogóle są liczby.

Naturalne $\mathbb{N}$ : $0, 1, 2, 3, \ldots$ – liczby do liczenia przedmiotów.
Całkowite $\mathbb{Z}$ : naturalne i ich liczby przeciwne: $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$
Wymierne $\mathbb{Q}$ : dają się zapisać jako ułamek $\frac{p}{q}$ , gdzie $p, q$ są całkowite i $q \neq 0$ , np. $\frac{3}{4}$ , $-2$ , $0{,}25$ , $0{,}(3)$ .
Niewymierne: nie da się ich zapisać jako ułamka, np. $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\pi$ . Ich rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.
Rzeczywiste $\mathbb{R}$ : wszystkie wymierne i niewymierne razem – każdy punkt na osi liczbowej.

Kolejność wykonywania działań

Przykład: $2 + 3\cdot 4^2 = 2 + 3\cdot 16 = 2 + 48 = 50$ . Najpierw potęga, potem mnożenie, na końcu dodawanie.

NWD i NWW

NWD (największy wspólny dzielnik) i NWW (najmniejsza wspólna wielokrotność) najłatwiej znaleźć z rozkładu na czynniki pierwsze. Dla NWD bierzesz wspólne czynniki w najmniejszych potęgach, dla NWW – wszystkie czynniki w największych potęgach.

Liczba	Rozkład
$24$	$2^3\cdot 3$
$36$	$2^2\cdot 3^2$
NWD	$2^2\cdot 3 = 12$
NWW	$2^3\cdot 3^2 = 72$

Związek NWD i NWW

\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b) = a\cdot b

Sprawdzenie: $12\cdot 72 = 864 = 24\cdot 36$ .

Przybliżenia i błędy

Gdy zamiast dokładnej wartości $x$ używasz przybliżenia $a$ , popełniasz błąd. Maturę interesują dwa rodzaje błędu:

Błąd bezwzględnyna karcie wzorów →

\Delta = |x - a|

Błąd względnyna karcie wzorów →

\delta = \frac{|x - a|}{|x|}\cdot 100\%

Dzielimy przez wartość dokładną $x$ .

Notacja wykładnicza to zapis $a\cdot 10^k$ , gdzie $1 \le a < 10$ , a $k$ jest całkowite. Np. $3\,400\,000 = 3{,}4\cdot 10^6$ , $0{,}00052 = 5{,}2\cdot 10^{-4}$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Ustal kolejność działań
Zaznacz sobie (w myślach lub ołówkiem), co liczysz najpierw: nawiasy, potem potęgi, potem mnożenie i dzielenie.
2
Wybierz wygodną postać liczb
Ułamki dziesiętne często łatwiej zamienić na zwykłe: $0{,}25 = \frac{1}{4}$ , $0{,}5 = \frac{1}{2}$ .
3
Licz po jednym działaniu
Zapisuj każdy wynik pośredni. Nie przeskakuj kroków – tam powstaje najwięcej błędów.
4
Uprość wynik
Skróć ułamek, wyciągnij całości, sprawdź znak.
5
Sprawdź sensowność
Oszacuj wynik „na oko”. Jeśli wyszło $1000$ , a spodziewasz się około $10$ – szukaj błędu.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Wartość wyrażenia

Oblicz $\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)\cdot 6 + 2^3 : 4$ .

Nawias: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$ .
Ułamki odejmujemy po sprowadzeniu do wspólnego mianownika.
Potęga: $2^3 = 8$ .
Mnożenie i dzielenie: $\frac{1}{6}\cdot 6 = 1$ oraz $8 : 4 = 2$ .
Dodawanie: $1 + 2 = 3$ .

Odpowiedź: $3$

Przykład 2

NWD i NWW

Wyznacz NWD i NWW liczb $84$ i $120$ .

Rozkład: $84 = 2^2\cdot 3\cdot 7$ , $120 = 2^3\cdot 3\cdot 5$ .
NWD – wspólne czynniki w najmniejszych potęgach: $2^2\cdot 3 = 12$ .
NWW – wszystkie czynniki w największych potęgach: $2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 840$ .
Sprawdzenie: $12\cdot 840 = 10\,080 = 84\cdot 120$ . ✓

Odpowiedź: $\mathrm{NWD} = 12$ , $\mathrm{NWW} = 840$

Przykład 3

Błąd względny

Liczbę $2{,}68$ zaokrąglono do $2{,}7$ . Oblicz błąd bezwzględny i względny tego przybliżenia.

Błąd bezwzględny: $|2{,}68 - 2{,}7| = 0{,}02$ .
Błąd względny: $\frac{0{,}02}{2{,}68} \approx 0{,}0075$ .
Dzielimy przez wartość dokładną, czyli 2,68.
W procentach: $0{,}0075\cdot 100\% = 0{,}75\%$ .

Odpowiedź: $\Delta = 0{,}02$ , $\delta \approx 0{,}75\%$

Typowe błędy

Dodawanie przed mnożeniem: $2 + 3\cdot 4 = 14$ , a nie $20$ .
Mylenie $-2^2 = -4$ z $(-2)^2 = 4$ – potęga dotyczy tylko tego, co stoi bezpośrednio pod nią.
Dzielenie przez przybliżenie zamiast przez wartość dokładną przy liczeniu błędu względnego.