Wzory skróconego mnożenia

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Wzory skróconego mnożenia to gotowe wyniki mnożenia, które pojawiają się tak często, że warto je znać na pamięć. Działają w obie strony: raz rozwijasz nawias, raz zwijasz wyrażenie do nawiasu (rozkład na czynniki).

Kwadrat sumy i różnicyna karcie wzorów →

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Różnica kwadratówna karcie wzorów →

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Sześcian sumy i różnicyna karcie wzorów →

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \qquad (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Suma i różnica sześcianówna karcie wzorów →

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \qquad a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Dowody algebraiczne

Na maturze często trzeba wykazać, że jakieś wyrażenie jest zawsze dodatnie (lub nieujemne). Klucz: zwiń wyrażenie do kwadratu, bo kwadrat każdej liczby jest nieujemny: $(\ldots)^2 \ge 0$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Rozpoznaj wzór
Szukasz kwadratów ( $a^2$ , $b^2$ ) i podwojonego iloczynu ( $2ab$ ) lub różnicy kwadratów.
2
Ustal, co jest a, a co b
W $(2x - 3)^2$ : $a = 2x$ , $b = 3$ . Całe wyrażenia podstawiaj w nawiasach.
3
Podstaw do wzoru
$(2x)^2 - 2\cdot 2x\cdot 3 + 3^2$ – nie pomijaj nawiasów przy potęgowaniu.
4
Uprość
$4x^2 - 12x + 9$ . Zredukuj wyrazy podobne.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Rozwinięcie kwadratu różnicy

Zapisz $(2x - 3)^2$ w postaci sumy algebraicznej.

$a = 2x$ , $b = 3$ .
$(2x)^2 - 2\cdot 2x\cdot 3 + 3^2$
$= 4x^2 - 12x + 9$
$(2x)^2 = 4x^2$ – potęgujemy i liczbę, i zmienną.

Odpowiedź: $4x^2 - 12x + 9$

Przykład 2

Wzory z pierwiastkami

Oblicz $(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) + (\sqrt{3} + 1)^2$ .

Różnica kwadratów: $(\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$ .
Kwadrat sumy: $(\sqrt{3})^2 + 2\cdot\sqrt{3}\cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$ .
Razem: $1 + 4 + 2\sqrt{3} = 5 + 2\sqrt{3}$ .

Odpowiedź: $5 + 2\sqrt{3}$

Przykład 3

Dowód nierówności

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $x^2 - 6x + 10 > 0$ .

Zapisujemy $10 = 9 + 1$ : $x^2 - 6x + 9 + 1$ .
Szukamy kwadratu różnicy: $x^2 - 2\cdot 3\cdot x + 3^2$ .
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ , więc wyrażenie to $(x - 3)^2 + 1$ .
$(x - 3)^2 \ge 0$ dla każdego $x$ , zatem $(x - 3)^2 + 1 \ge 1 > 0$ . To kończy dowód.

Odpowiedź: $x^2 - 6x + 10 = (x-3)^2 + 1 > 0$

Typowe błędy

$(a + b)^2 = a^2 + b^2$ – brak podwojonego iloczynu $2ab$ .
$(a - b)^2 = a^2 - b^2$ – mylenie kwadratu różnicy z różnicą kwadratów.
$(3x)^2 = 3x^2$ – źle, potęgujemy cały nawias: $9x^2$ .