Wielomiany · Maturka

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Wielomian to suma jednomianów, np. $W(x) = 2x^3 - 5x^2 + x - 7$ . Stopień wielomianu to najwyższa potęga $x$ (tu: $3$ ). Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu, gdy $W(a) = 0$ .

Działania

Dodawanie i odejmowanie – redukujesz wyrazy podobne (te same potęgi $x$ ).
Mnożenie – każdy wyraz pierwszego wielomianu mnożysz przez każdy wyraz drugiego, a potem redukujesz.

Rozkład na czynniki

Rozłożyć wielomian to zapisać go jako iloczyn prostszych wielomianów. To klucz do rozwiązywania równań wielomianowych. Masz trzy narzędzia:

Wyłączanie wspólnego czynnika: $3x^3 - 12x = 3x(x^2 - 4)$ .
Wzory skróconego mnożenia: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ .
Grupowanie wyrazów: łączysz wyrazy w pary, z których da się wyłączyć ten sam nawias.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wyłącz wspólny czynnik
Zawsze zaczynaj od tego – liczba i najniższa potęga $x$ wspólna dla wszystkich wyrazów.
2
Sprawdź wzory skróconego mnożenia
Szczególnie różnicę kwadratów $a^2 - b^2$ .
3
Przy 4 wyrazach – grupuj
Połącz wyrazy w pary tak, by z każdej pary wyłączyć ten sam nawias.
4
Rozkładaj do końca
Sprawdź, czy któryś czynnik da się jeszcze rozłożyć.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Mnożenie wielomianów

Oblicz $(x^2 - 2x + 3)(x + 1)$ .

$x^2\cdot x + x^2\cdot 1 - 2x\cdot x - 2x\cdot 1 + 3\cdot x + 3\cdot 1$
$= x^3 + x^2 - 2x^2 - 2x + 3x + 3$
$= x^3 - x^2 + x + 3$
Redukujemy wyrazy podobne: x² − 2x² = −x², −2x + 3x = x.

Odpowiedź: $x^3 - x^2 + x + 3$

Przykład 2

Wyłączanie i wzór

Rozłóż na czynniki $3x^3 - 12x$ .

Wspólny czynnik $3x$ : $3x(x^2 - 4)$ .
Różnica kwadratów: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ .

Odpowiedź: $3x(x - 2)(x + 2)$

Przykład 3

Grupowanie

Rozłóż na czynniki $x^3 + 2x^2 - 9x - 18$ .

Grupujemy: $(x^3 + 2x^2) + (-9x - 18)$ .
$x^2(x + 2) - 9(x + 2)$
Z drugiej pary wyłączamy $-9$ , żeby w nawiasie zostało $x + 2$ .
$(x + 2)(x^2 - 9) = (x + 2)(x - 3)(x + 3)$

Odpowiedź: $(x + 2)(x - 3)(x + 3)$

Typowe błędy

Zgubienie czynnika przy wyłączaniu: $3x^3 - 12x = x(x^2 - 4)$ – brakuje $3$ .
Zły znak przy grupowaniu: $-9x - 18 = -9(x - 2)$ – źle, powinno być $-9(x + 2)$ .
Kończenie rozkładu za wcześnie – $x^2 - 9$ da się jeszcze rozłożyć.