Wyrażenia wymierne

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów, np. $\frac{x + 1}{x^2 - 9}$ . Działa jak zwykły ułamek – z jednym ważnym zastrzeżeniem: mianownik nie może być zerem.

Dziedzina

Dziedzina to wszystkie liczby, które wolno podstawić. Wykluczasz te, dla których mianownik jest równy $0$ . Dla $\frac{x+1}{x^2 - 9}$ : $x^2 - 9 = 0 \iff x = 3 \lor x = -3$ , więc $D = \mathbb{R}\setminus\{-3, 3\}$ .

Skracanie

Skracać wolno tylko czynniki, a nie składniki. Dlatego najpierw rozkładasz licznik i mianownik na czynniki.

Działania

Dodawanie/odejmowanie: sprowadź do wspólnego mianownika (iloczyn mianowników lub ich NWW).
Mnożenie: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik – najpierw skróć, co się da.
Dzielenie: mnożysz przez odwrotność drugiego ułamka.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wyznacz dziedzinę
Przyrównaj każdy mianownik do zera i wyklucz te liczby. Rób to na początku, przed skracaniem.
2
Rozłóż na czynniki
Liczniki i mianowniki – wyłączanie, wzory skróconego mnożenia.
3
Wykonaj działanie
Wspólny mianownik przy dodawaniu, skracanie przy mnożeniu.
4
Uprość i podaj wynik z dziedziną
Zapisz wynik i warunek, np. „dla $x \neq 0$ i $x \neq -2$ ”.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Dziedzina

Wyznacz dziedzinę wyrażenia $\dfrac{x + 1}{x^2 - 9}$ .

$x^2 - 9 = 0 \iff (x - 3)(x + 3) = 0$
$x = 3$ lub $x = -3$ – te liczby wykluczamy.

Odpowiedź: $D = \mathbb{R}\setminus\{-3, 3\}$

Przykład 2

Skracanie

Skróć wyrażenie $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 2x}$ .

Dziedzina: $x^2 + 2x = x(x + 2) \neq 0$ , więc $x \neq 0$ , $x \neq -2$ .
Rozkład: $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x(x + 2)}$ .
Skracamy czynnik $(x + 2)$ : $\frac{x - 2}{x}$ .

Odpowiedź: $\frac{x - 2}{x}$ dla $x \neq 0$ , $x \neq -2$

Przykład 3

Dodawanie

Oblicz $\dfrac{2}{x - 1} + \dfrac{3}{x + 1}$ .

Dziedzina: $x \neq 1$ , $x \neq -1$ . Wspólny mianownik: $(x - 1)(x + 1)$ .
$\frac{2(x + 1) + 3(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{2x + 2 + 3x - 3}{x^2 - 1}$
$= \frac{5x - 1}{x^2 - 1}$

Odpowiedź: $\frac{5x - 1}{x^2 - 1}$ dla $x \neq \pm 1$

Typowe błędy

Skracanie składników zamiast czynników.
Pominięcie dziedziny – albo wyznaczanie jej dopiero po skróceniu (wtedy gubisz wykluczone liczby).
Dodawanie ułamków przez dodanie liczników i mianowników: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \neq \frac{2}{x + y}$ .