Równania liniowe

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Równanie liniowe to równanie, w którym niewiadoma $x$ występuje tylko w pierwszej potędze, np. $3x - 7 = 2x + 1$ . Rozwiązać je to znaleźć wszystkie $x$ , dla których lewa strona jest równa prawej.

Przenosząc wyraz na drugą stronę, zmieniasz jego znak na przeciwny – to skrót od „odejmij go od obu stron”.

Przypadki szczególne

Po uproszczeniu wychodzi	Znaczenie	Liczba rozwiązań
$x = 5$	równanie oznaczone	jedno
$0 = 0$ (zawsze prawda)	równanie tożsamościowe	nieskończenie wiele – każda liczba
$0 = 3$ (zawsze fałsz)	równanie sprzeczne	brak

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Pozbądź się ułamków
Pomnóż obie strony (każdy wyraz!) przez wspólny mianownik.
2
Rozwiń nawiasy
$a(b + c) = ab + ac$ . Uważaj na minus przed nawiasem – zmienia znaki wszystkich wyrazów.
3
Przenieś niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą
Zmieniając stronę, zmieniasz znak.
4
Zredukuj i podziel przez współczynnik
Z $ax = b$ dostajesz $x = \frac{b}{a}$ .
5
Sprawdź
Podstaw wynik do równania wyjściowego. Obie strony muszą być równe.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Z nawiasem

Rozwiąż równanie $3(x - 2) + 5 = 2x + 4$ .

Rozwijamy nawias: $3x - 6 + 5 = 2x + 4$ .
Upraszczamy lewą stronę: $3x - 1 = 2x + 4$ .
Przenosimy: $3x - 2x = 4 + 1$ , czyli $x = 5$ .
Sprawdzenie: $L = 3\cdot 3 + 5 = 14$ , $P = 2\cdot 5 + 4 = 14$ . ✓

Odpowiedź: $x = 5$

Przykład 2

Z ułamkami

Rozwiąż równanie $\dfrac{x - 1}{2} - \dfrac{x + 2}{3} = 1$ .

Mnożymy obie strony przez $6$ : $3(x - 1) - 2(x + 2) = 6$ .
Każdy wyraz, także prawą stronę, mnożymy przez 6.
$3x - 3 - 2x - 4 = 6$
Minus przed $2(x + 2)$ zmienia znaki obu wyrazów w nawiasie.
$x - 7 = 6$ , więc $x = 13$ .
Sprawdzenie: $\frac{12}{2} - \frac{15}{3} = 6 - 5 = 1$ . ✓

Odpowiedź: $x = 13$

Przykład 3

Równanie sprzeczne

Rozwiąż równanie $2(x + 1) = 2x + 5$ .

$2x + 2 = 2x + 5$
$2x - 2x = 5 - 2$ , czyli $0 = 3$ .
Otrzymaliśmy fałsz niezależnie od $x$ – równanie jest sprzeczne.

Odpowiedź: Brak rozwiązań

Typowe błędy

Mnożenie przez wspólny mianownik tylko jednej strony (albo tylko ułamków).
Zapominanie o zmianie znaków po minusie przed nawiasem: $-2(x + 2) = -2x - 4$ .
Brak sprawdzenia – to 20 sekund, a wyłapuje większość błędów.