Nierówności liniowe

Spis treści

Co musisz wiedzieć

Nierówność liniowa ma postać np. $3x - 5 > 7$ . Jej rozwiązaniem nie jest jedna liczba, lecz cały zbiór – najczęściej przedział.

Przekształcasz ją tak samo jak równanie: dodajesz, odejmujesz, mnożysz i dzielisz obie strony. Jest tylko jedna nowa zasada:

Dlaczego? $2 < 5$ , ale po pomnożeniu przez $-1$ : $-2 > -5$ . Liczby ujemne „odwracają” porządek na osi.

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Usuń ułamki i nawiasy
Mnożenie przez dodatni wspólny mianownik nie zmienia znaku.
2
Niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą
Tak jak w równaniu.
3
Podziel przez współczynnik przy x
Jeśli jest ujemny – odwróć znak nierówności.
4
Zapisz zbiór rozwiązań
Jako przedział i/lub na osi liczbowej.

Przykład 1

Dzielenie przez liczbę ujemną

Rozwiąż nierówność $3 - 2x \ge 7$ .

Odpowiedź: $x \in (-\infty, -2\rangle$

Przykład 2

Z ułamkami

Rozwiąż nierówność $\dfrac{x + 1}{2} - \dfrac{x}{3} < 1$ .

Odpowiedź: $x \in (-\infty, 3)$

Przykład 3

Najmniejsza liczba całkowita

Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność $5x - 3 > 2x + 7$ .

$3x > 10$ , więc $x > \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$ .
Najmniejsza liczba całkowita większa od $3\frac{1}{3}$ to $4$ .
$3$ nie spełnia nierówności, bo $3 < 3\frac{1}{3}$ .

Odpowiedź: $4$

Brak zmiany znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną – najczęstszy błąd w tym temacie.
Zapisywanie odpowiedzi jako $x = 3$ zamiast przedziału.
Domknięcie przedziału przy nierówności ostrej ( $<$ , $>$ ).