Układy równań · Maturka

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Układ równań to para równań, które muszą być spełnione jednocześnie. Rozwiązaniem jest para liczb $(x, y)$ .

Metoda podstawiania

Z jednego równania wyznaczasz jedną niewiadomą (np. $y = \ldots$ ) i podstawiasz do drugiego. Dostajesz równanie z jedną niewiadomą. Najlepsza, gdy któraś zmienna ma współczynnik $1$ lub $-1$ .

Metoda przeciwnych współczynników

Mnożysz równania przez takie liczby, żeby przy jednej niewiadomej pojawiły się liczby przeciwne, a potem dodajesz równania stronami – ta niewiadoma znika.

Interpretacja geometryczna

Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi to prosta. Rozwiązanie układu to punkt przecięcia prostych.

Proste	Układ	Rozwiązania
przecinają się	oznaczony	dokładnie jedno
są równoległe (różne)	sprzeczny	brak
pokrywają się	nieoznaczony	nieskończenie wiele

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Uporządkuj równania
Najlepiej do postaci $ax + by = c$ .
2
Wybierz metodę
Współczynnik $\pm 1$ przy zmiennej → podstawianie. Inaczej → przeciwne współczynniki.
3
Wyznacz pierwszą niewiadomą
Rozwiąż powstałe równanie z jedną niewiadomą.
4
Oblicz drugą niewiadomą
Podstaw wynik do prostszego równania.
5
Sprawdź w obu równaniach
Para musi spełniać oba równania.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Podstawianie

Rozwiąż układ $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases}$

Podstawiamy $y$ z pierwszego równania do drugiego: $3x + 2x - 1 = 9$ .
$5x = 10$ , więc $x = 2$ .
$y = 2\cdot 2 - 1 = 3$ .
Sprawdzenie: $3\cdot 2 + 3 = 9$ . ✓ Na wykresie proste przecinają się w $(2, 3)$ .

Odpowiedź: $x = 2$ , $y = 3$

Przykład 2

Przeciwne współczynniki

Rozwiąż układ $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$

Przy $y$ są już liczby przeciwne: $3y$ i $-3y$ . Dodajemy równania: $6x = 18$ .
$x = 3$
Z pierwszego: $2\cdot 3 + 3y = 12$ , więc $3y = 6$ , $y = 2$ .
Sprawdzenie w drugim: $4\cdot 3 - 3\cdot 2 = 6$ . ✓

Odpowiedź: $x = 3$ , $y = 2$

Przykład 3

Zadanie tekstowe

Za 2 bilety normalne i 3 ulgowe zapłacono $60$ zł, a za 1 normalny i 2 ulgowe – $35$ zł. Ile kosztuje każdy bilet?

Oznaczenia: $n$ – cena normalnego, $u$ – ulgowego. Układ: $\begin{cases} 2n + 3u = 60 \\ n + 2u = 35 \end{cases}$
Z drugiego: $n = 35 - 2u$ . Podstawiamy: $2(35 - 2u) + 3u = 60$ .
$70 - 4u + 3u = 60$ , więc $u = 10$ , a $n = 35 - 20 = 15$ .
Sprawdzenie: $2\cdot 15 + 3\cdot 10 = 60$ . ✓

Odpowiedź: Bilet normalny $15$ zł, ulgowy $10$ zł.

Typowe błędy

Obliczenie tylko jednej niewiadomej i zakończenie zadania.
Błąd znaku przy odejmowaniu równań stronami – bezpieczniej mnożyć przez $-1$ i dodawać.
W zadaniach tekstowych: brak opisu oznaczeń i odpowiedzi słownej.