Równania kwadratowe

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Równanie kwadratowe ma postać $ax^2 + bx + c = 0$ , gdzie $a \neq 0$ . Może mieć dwa, jedno albo zero rozwiązań – decyduje o tym wyróżnik (delta).

Wyróżnikna karcie wzorów →

\Delta = b^2 - 4ac

Delta	Rozwiązania
$\Delta > 0$	dwa: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ , $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta = 0$	jedno (podwójne): $x_0 = \frac{-b}{2a}$
$\Delta < 0$	brak rozwiązań rzeczywistych

Równania niepełne – bez delty

Brak $c$ : $ax^2 + bx = 0$ → wyłącz $x$ : $x(ax + b) = 0$ , więc $x = 0$ lub $x = -\frac{b}{a}$ .
Brak $b$ : $ax^2 + c = 0$ → $x^2 = -\frac{c}{a}$ i pierwiastkujesz (pamiętaj o $\pm$ ).

Postać iloczynowana karcie wzorów →

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Gdy $\Delta \ge 0$ . Pozwala od razu odczytać pierwiastki: z $2(x - 1)(x + 3) = 0$ mamy $x = 1$ lub $x = -3$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Doprowadź do postaci ax² + bx + c = 0
Wszystko na jedną stronę, po drugiej zero.
2
Sprawdź, czy równanie jest niepełne
Brak $b$ lub $c$ – rozwiąż szybciej, bez delty.
3
Odczytaj a, b, c i policz deltę
Uważaj na znaki: w $x^2 - 5x + 6$ jest $b = -5$ .
4
Zastosuj wzory
W zależności od znaku $\Delta$ .
5
Sprawdź
Podstaw jeden z wyników do równania.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Pełne równanie, Δ > 0

Rozwiąż równanie $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

$a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$ .
$\Delta = (-5)^2 - 4\cdot 1\cdot 6 = 25 - 24 = 1$ , $\sqrt{\Delta} = 1$ .
$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2$ , $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$ .
$-b = -(-5) = 5$ .

Odpowiedź: $x = 2$ lub $x = 3$

Przykład 2

Niepełne – pułapka z dzieleniem

Rozwiąż równanie $3x^2 = 6x$ .

Przenosimy: $3x^2 - 6x = 0$ .
Wyłączamy $3x$ : $3x(x - 2) = 0$ .
Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem.
$x = 0$ lub $x = 2$ .

Odpowiedź: $x = 0$ lub $x = 2$

Przykład 3

Δ < 0

Rozwiąż równanie $x^2 + 4x + 5 = 0$ .

$\Delta = 4^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 16 - 20 = -4$ .
$\Delta < 0$ , więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Odpowiedź: Brak rozwiązań

Typowe błędy

Zły znak $b$ : w $x^2 - 5x + 6$ jest $b = -5$ , więc $b^2 = 25$ , a $-b = 5$ .
Dzielenie przez $x$ – gubi rozwiązanie $x = 0$ .
Z $x^2 = 9$ tylko $x = 3$ – zapominasz o $x = -3$ .