Nierówności kwadratowe

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Nierówność kwadratowa to np. $x^2 - x - 6 \le 0$ . Rozwiązujesz ją graficznie: szkicujesz parabolę $y = ax^2 + bx + c$ i odczytujesz, gdzie leży nad osią $OX$ , a gdzie pod nią.

$a > 0$ – ramiona paraboli w górę (uśmiech ∪).
$a < 0$ – ramiona w dół (smutek ∩).
Miejsca zerowe (pierwiastki) to punkty przecięcia z osią $OX$ .

Szukasz	Odczytujesz	Końce przedziału
$> 0$	gdzie parabola jest nad osią	otwarte
$\ge 0$	nad osią lub na niej	domknięte
$< 0$	gdzie parabola jest pod osią	otwarte
$\le 0$	pod osią lub na niej	domknięte

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Przenieś wszystko na jedną stronę
Po drugiej stronie ma być $0$ .
2
Znajdź miejsca zerowe
Z delty lub rozkładu na czynniki.
3
Naszkicuj parabolę
Zaznacz pierwiastki na osi, ramiona zgodnie ze znakiem $a$ .
4
Odczytaj i zapisz zbiór
Wybierz części nad lub pod osią, zadbaj o nawiasy przy końcach.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Wartości niedodatnie

Rozwiąż nierówność $x^2 - x - 6 \le 0$ .

$\Delta = 1 + 24 = 25$ , $\sqrt{\Delta} = 5$ .
$x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2$ , $x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$ .
$a = 1 > 0$ – ramiona w górę. Pod osią (lub na niej) parabola jest między pierwiastkami.

Odpowiedź: $x \in \langle -2, 3\rangle$

Przykład 2

Ramiona w dół

Rozwiąż nierówność $-x^2 + 4x > 0$ .

Rozkład: $-x(x - 4) > 0$ . Pierwiastki: $0$ i $4$ .
$a = -1 < 0$ – ramiona w dół, więc nad osią parabola jest między pierwiastkami.
Nierówność ostra – końce otwarte.

Odpowiedź: $x \in (0, 4)$

Przykład 3

Pełny kwadrat

Rozwiąż nierówność $x^2 + 2x + 1 > 0$ .

$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$ , jedyny pierwiastek to $-1$ ( $\Delta = 0$ ).
$(x + 1)^2 > 0$ dla każdego $x$ oprócz $x = -1$ , gdzie jest równe $0$ .

Odpowiedź: $x \in \mathbb{R}\setminus\{-1\}$

Typowe błędy

Podanie samych pierwiastków ( $x = -2$ , $x = 3$ ) zamiast przedziału.
Zignorowanie znaku $a$ – odczyt „między” zamiast „na zewnątrz”.
Złe nawiasy: przy $\le$ i $\ge$ końce domknięte, przy $<$ i $>$ otwarte.