Równania wielomianowe i wymierne

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Równania wielomianowe

Kluczowa zasada: iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy któryś z czynników jest zerem. Dlatego rozkładasz wielomian na czynniki i przyrównujesz każdy z nich do zera.

Iloczyn równy zero

A\cdot B\cdot C = 0 \iff A = 0 \lor B = 0 \lor C = 0

Równania wymierne

W równaniu wymiernym niewiadoma jest w mianowniku, np. $\frac{x + 3}{x - 1} = 2$ . Zaczynasz od dziedziny (mianownik $\neq 0$ ), potem mnożysz przez mianownik, a na końcu sprawdzasz, czy wyniki należą do dziedziny.

Ułamek równy zero

\frac{W(x)}{P(x)} = 0 \iff W(x) = 0 \;\land\; P(x) \neq 0

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wyznacz dziedzinę (dla wymiernych)
Mianowniki $\neq 0$ .
2
Doprowadź do postaci „… = 0” albo pozbądź się mianownika
Przenieś wszystko na jedną stronę lub pomnóż przez mianownik.
3
Rozłóż na czynniki
Wyłączanie, grupowanie, wzory skróconego mnożenia, delta.
4
Przyrównaj czynniki do zera
Każdy czynnik daje rozwiązania.
5
Porównaj z dziedziną
Odrzuć liczby wykluczone z dziedziny.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Grupowanie

Rozwiąż równanie $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0$ .

$x^2(x + 2) - 9(x + 2) = 0$
$(x + 2)(x^2 - 9) = 0$ , czyli $(x + 2)(x - 3)(x + 3) = 0$ .
$x = -2$ lub $x = 3$ lub $x = -3$ .

Odpowiedź: $x \in \{-3, -2, 3\}$

Przykład 2

Pierwiastek podwójny

Rozwiąż równanie $x^3 - 6x^2 + 9x = 0$ .

Wyłączamy $x$ : $x(x^2 - 6x + 9) = 0$ .
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ , więc $x(x - 3)^2 = 0$ .
$x = 0$ lub $x = 3$ .

Odpowiedź: $x \in \{0, 3\}$

Przykład 3

Równanie wymierne z pułapką

Rozwiąż równanie $\dfrac{x^2 - 4}{x + 2} = 0$ .

Dziedzina: $x + 2 \neq 0$ , czyli $x \neq -2$ .
Licznik równy zero: $x^2 - 4 = 0 \iff x = 2 \lor x = -2$ .
$x = -2$ nie należy do dziedziny – odrzucamy.

Odpowiedź: $x = 2$

Typowe błędy

Dzielenie obu stron przez $x$ lub $(x - 3)$ – gubisz rozwiązania.
Brak dziedziny w równaniu wymiernym i pozostawienie „fałszywego” rozwiązania.
Przy $\frac{x + 3}{x - 1} = 2$ mnożenie tylko lewej strony przez $(x - 1)$ .