Czworokąty · Maturka

Spis treści

Co musisz wiedzieć

Suma kątów wewnętrznych każdego czworokąta to $360°$ . Najważniejsze czworokąty różnią się własnościami boków, kątów i przekątnych.

Czworokąt	Najważniejsze własności
równoległobok	przeciwległe boki równoległe i równe; przekątne dzielą się na połowy; kąty przy boku sumują się do $180°$
prostokąt	równoległobok z kątami prostymi; przekątne równe
romb	równoległobok o równych bokach; przekątne prostopadłe
kwadrat	prostokąt i romb jednocześnie; przekątna $a\sqrt{2}$
trapez	co najmniej jedna para boków równoległych (podstawy)
deltoid	dwie pary sąsiednich boków równych; przekątne prostopadłe

P_{\text{równoległoboku}} = a\cdot h = ab\sin\alpha \qquad P_{\text{rombu}} = \frac{d_1 d_2}{2} \qquad P_{\text{trapezu}} = \frac{a + b}{2}\cdot h

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Rozpoznaj czworokąt
I wypisz jego własności – co jest równe, równoległe, prostopadłe.
2
Dorysuj wysokość lub przekątną
Tak, by powstał trójkąt prostokątny.
3
Licz w trójkącie
Pitagoras, trygonometria, trójkąty szczególne.
4
Oblicz pole lub obwód
Odpowiednim wzorem.

Przykład 1

Romb

Przekątne rombu mają długości $6$ i $8$ . Oblicz jego bok i pole.

Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy: powstają trójkąty o przyprostokątnych $3$ i $4$ .
Bok: $\sqrt{9 + 16} = 5$ .
Pole: $\frac{6\cdot 8}{2} = 24$ .

Odpowiedź: Bok $5$ , pole $24$

Przykład 2

Trapez równoramienny

Podstawy trapezu równoramiennego mają długości $10$ i $4$ , a ramię – $5$ . Oblicz pole trapezu.

Odpowiedź: $28$

Przykład 3

Równoległobok

Boki równoległoboku mają długości $6$ i $10$ , a kąt ostry $30°$ . Oblicz pole.

Odpowiedź: $30$

Pole rombu jako $d_1\cdot d_2$ – brakuje dzielenia przez $2$ .
Traktowanie ramienia trapezu jak wysokości.
Zakładanie, że przekątne prostokąta są prostopadłe (tak jest tylko w kwadracie).