Okręgi i koła · Maturka

Spis treści

Co musisz wiedzieć

Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu, kąt wpisany – na okręgu. Oba „opierają się” na łuku między ramionami.

Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

Figura	Okrąg opisany	Okrąg wpisany
dowolny trójkąt	środek: przecięcie symetralnych boków	środek: przecięcie dwusiecznych kątów
trójkąt prostokątny	$R = \frac{c}{2}$ (środek w połowie przeciwprostokątnej)	$r = \frac{a + b - c}{2}$
trójkąt równoboczny	$R = \frac{2}{3}h$	$r = \frac{1}{3}h$
czworokąt	da się opisać, gdy $\alpha + \gamma = \beta + \delta = 180°$	da się wpisać, gdy $a + c = b + d$

Promień okręgu wpisanego w dowolny trójkątna karcie wzorów →

r = \frac{2P}{a + b + c}

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Zaznacz środek i promienie
Promienie tworzą trójkąty równoramienne – to źródło równych kątów.
2
Znajdź łuk, na którym opierają się kąty
Kąty oparte na tym samym łuku są powiązane.
3
Szukaj kątów prostych
Średnica, styczna – dają trójkąty prostokątne.
4
Licz
Suma kątów, Pitagoras, wzory na $R$ i $r$ .

Przykład 1

Kąt wpisany i środkowy

Kąt środkowy $AOB$ ma miarę $120°$ . Oblicz miarę kąta wpisanego $ACB$ opartego na tym samym łuku.

Odpowiedź: $60°$

Przykład 2

Trójkąt prostokątny

Przyprostokątne trójkąta mają długości $6$ i $8$ . Oblicz promienie okręgu opisanego i wpisanego.

Odpowiedź: $R = 5$ , $r = 2$

Przykład 3

Styczna

Z punktu $P$ poprowadzono styczną do okręgu o promieniu $6$ . Odcinek styczny $|PA| = 8$ . Oblicz odległość punktu $P$ od środka okręgu.

Odpowiedź: $10$