Podobieństwo i twierdzenie Talesa

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Figury są podobne, gdy jedna jest powiększeniem (lub pomniejszeniem) drugiej. Liczba $k$ , przez którą mnożysz wszystkie długości, to skala podobieństwa.

Cechy podobieństwa trójkątów

bbb – trzy pary boków są proporcjonalne,
bkb – dwie pary boków proporcjonalne i kąty między nimi równe,
kkk (w praktyce kk) – dwie pary kątów są równe.

Skala a obwody i pola

\frac{\text{Obw}_2}{\text{Obw}_1} = k \qquad \frac{P_2}{P_1} = k^2

Pola zmieniają się z kwadratem skali: dwa razy dłuższe boki → cztery razy większe pole.

Twierdzenie Talesa

Jeśli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu.

AC ∥ BD, więc |OA| : |OB| = |OC| : |OD|.

Twierdzenie Talesana karcie wzorów →

\frac{|OA|}{|AB|} = \frac{|OC|}{|CD|} \qquad \frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OC|}{|OD|}

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Znajdź trójkąty podobne
Szukaj wspólnych kątów, kątów przy prostych równoległych, kątów prostych.
2
Dopasuj odpowiadające boki
Boki naprzeciw równych kątów odpowiadają sobie.
3
Ułóż proporcję
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ – pilnuj, żeby stosunek był „w tę samą stronę”.
4
Rozwiąż proporcję
Mnożenie „na krzyż”.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Pola figur podobnych

Trójkąty są podobne w skali $3$ . Pole mniejszego wynosi $4$ . Oblicz pole większego.

$\frac{P_2}{P_1} = k^2 = 9$ .
$P_2 = 9\cdot 4 = 36$

Odpowiedź: $36$

Przykład 2

Talesa

Ramiona kąta o wierzchołku $O$ przecięto prostymi równoległymi $AC$ i $BD$ (jak na rysunku). $|OA| = 3$ , $|AB| = 6$ , $|OC| = 4$ . Oblicz $|CD|$ .

$\frac{|OA|}{|AB|} = \frac{|OC|}{|CD|}$ , czyli $\frac{3}{6} = \frac{4}{x}$ .
$3x = 24$ , więc $x = 8$ .

Odpowiedź: $|CD| = 8$

Przykład 3

Wysokość z cienia

Człowiek o wzroście $1{,}8$ m rzuca cień długości $2{,}4$ m, a drzewo w tym samym czasie – cień długości $12$ m. Jak wysokie jest drzewo?

Promienie słońca padają pod tym samym kątem, więc trójkąty (obiekt, cień) są podobne (cecha kk).
$\frac{h}{12} = \frac{1{,}8}{2{,}4}$ , czyli $h = 12\cdot 0{,}75 = 9$ .

Odpowiedź: $9$ m

Typowe błędy

Stosunek pól równy $k$ zamiast $k^2$ .
Proporcja z nieodpowiadającymi sobie bokami.
W Talesie mieszanie odcinka $|OB|$ (od wierzchołka) z $|AB|$ .