Kąty i trójkąty

Spis treści

Co musisz wiedzieć

Kąty przyległe mają wspólne ramię, a pozostałe tworzą prostą – ich suma to $180°$ .
Kąty wierzchołkowe (naprzeciw siebie przy przecięciu prostych) są równe.
Gdy prosta przecina dwie proste równoległe, kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe.

Suma kątów wewnętrznych trójkąta to $180°$ .
Nierówność trójkąta: każdy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych ( $a < b + c$ ).
Naprzeciw dłuższego boku leży większy kąt.

Twierdzenie Pitagorasa

a^2 + b^2 = c^2

W trójkącie prostokątnym; $c$ – przeciwprostokątna. Działa też odwrotnie: jeśli $a^2 + b^2 = c^2$ , trójkąt jest prostokątny.

Trójkąt równoboczny o boku ana karcie wzorów →

h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \qquad P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

Trójkąt	Stosunek boków
$45°, 45°, 90°$ (połowa kwadratu)	$a : a : a\sqrt{2}$
$30°, 60°, 90°$ (połowa trójkąta równobocznego)	$a : a\sqrt{3} : 2a$

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R

R – promień okręgu opisanego na trójkącie.

Twierdzenie cosinusówna karcie wzorów →

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma

Uogólnienie Pitagorasa: dla $\gamma = 90°$ mamy $\cos\gamma = 0$ .

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Zrób rysunek
Oznacz dane i szukane wielkości, zaznacz kąty proste.
2
Szukaj trójkątów prostokątnych
Wysokości i przekątne często je tworzą – wtedy Pitagoras lub trygonometria.
3
Wykorzystaj sumę kątów
Nieznane kąty wyznaczysz z $180°$ w trójkącie i kątów przy prostych.
4
W dowolnym trójkącie – sinusy lub cosinusy
Dwa boki i kąt między nimi → cosinusów. Bok i kąt naprzeciw → sinusów.

Przykład 1

Kąty w stosunku

Kąty trójkąta mają miary w stosunku $2 : 3 : 4$ . Oblicz te kąty.

Odpowiedź: $40°$ , $60°$ , $80°$

Przykład 2

Pitagoras

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość $10$ , a jedna z przyprostokątnych $6$ . Oblicz drugą przyprostokątną.

Odpowiedź: $8$

Przykład 3

Twierdzenie cosinusów

W trójkącie $ABC$ boki $|BC| = 5$ i $|AC| = 8$ , a kąt między nimi ma miarę $60°$ . Oblicz $|AB|$ .

Odpowiedź: $|AB| = 7$

Stosowanie Pitagorasa w trójkącie, który nie jest prostokątny.
W Pitagorasie dodawanie kwadratu przeciwprostokątnej: $6^2 + 10^2$ zamiast $10^2 - 6^2$ .
Mylenie wysokości trójkąta równobocznego $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ z polem.