Co musisz wiedzieć Podstawowe tożsamościna karcie wzorów → sin 2 α + cos 2 α = 1 tg α = sin α cos α \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} sin 2 α + cos 2 α = 1 tg α = cos α sin α Pierwsza to jedynka trygonometryczna
Kąty od 0° do 180° Dla dowolnego kąta α \alpha α P = ( x , y ) P = (x, y) P = ( x , y ) O X OX O X r = x 2 + y 2 r = \sqrt{x^2 + y^2} r = x 2 + y 2 sin α = y r \sin\alpha = \frac{y}{r} sin α = r y cos α = x r \cos\alpha = \frac{x}{r} cos α = r x tg α = y x \operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x} tg α = x y
Kąt rozwarty: x < 0, więc cosinus i tangens są ujemne. r y x < 0 α O P Kąt rozwarty: x < 0, więc cosinus i tangens są ujemne. Kąt sin \sin sin cos \cos cos tg \operatorname{tg} tg ostry ( 0 ° , 90 ° ) (0°, 90°) ( 0° , 90° ) + + + + + + + + + rozwarty ( 90 ° , 180 ° ) (90°, 180°) ( 90° , 180° ) + + + − - − − - −
Wzory dla 180° − αna karcie wzorów → sin ( 180 ° − α ) = sin α cos ( 180 ° − α ) = − cos α tg ( 180 ° − α ) = − tg α \sin(180° - \alpha) = \sin\alpha \qquad \cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha \qquad \operatorname{tg}(180° - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha sin ( 180° − α ) = sin α cos ( 180° − α ) = − cos α tg ( 180° − α ) = − tg α Schemat krok po kroku Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:
1 Ustal, czy kąt jest ostry czy rozwarty
Od tego zależą znaki cosinusa i tangensa.
2 Użyj jedynki
cos 2 α = 1 − sin 2 α \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha cos 2 α = 1 − sin 2 α
3 Oblicz tangens
tg α = sin α cos α \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} tg α = c o s α s i n α
4 Dla kątów rozwartych – sprowadź do ostrego
150 ° = 180 ° − 30 ° 150° = 180° - 30° 150° = 180° − 30° sin 150 ° = sin 30 ° \sin 150° = \sin 30° sin 150° = sin 30°
Rozwiązane przykłady Przykład 1
Z sinusa do cosinusa
Kąt α \alpha α sin α = 3 5 \sin\alpha = \frac{3}{5} sin α = 5 3 cos α \cos\alpha cos α tg α \operatorname{tg}\alpha tg α
cos 2 α = 1 − 9 25 = 16 25 \cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} cos 2 α = 1 − 25 9 = 25 16
Kąt ostry, więc cos α > 0 \cos\alpha > 0 cos α > 0 cos α = 4 5 \cos\alpha = \frac{4}{5} cos α = 5 4
tg α = 3 / 5 4 / 5 = 3 4 \operatorname{tg}\alpha = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4} tg α = 4/5 3/5 = 4 3
Odpowiedź: cos α = 4 5 \cos\alpha = \frac{4}{5} cos α = 5 4 tg α = 3 4 \operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4} tg α = 4 3
Kąt α ∈ ( 90 ° , 180 ° ) \alpha \in (90°, 180°) α ∈ ( 90° , 180° ) sin α = 12 13 \sin\alpha = \frac{12}{13} sin α = 13 12 cos α \cos\alpha cos α tg α \operatorname{tg}\alpha tg α
cos 2 α = 1 − 144 169 = 25 169 \cos^2\alpha = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} cos 2 α = 1 − 169 144 = 169 25
Kąt rozwarty, więc cos α < 0 \cos\alpha < 0 cos α < 0 cos α = − 5 13 \cos\alpha = -\frac{5}{13} cos α = − 13 5
tg α = 12 / 13 − 5 / 13 = − 12 5 \operatorname{tg}\alpha = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5} tg α = − 5/13 12/13 = − 5 12
Odpowiedź: cos α = − 5 13 \cos\alpha = -\frac{5}{13} cos α = − 13 5 tg α = − 12 5 \operatorname{tg}\alpha = -\frac{12}{5} tg α = − 5 12
Przykład 3
Wartości dla kątów rozwartych
Oblicz sin 150 ° + cos 120 ° + tg 135 ° \sin 150° + \cos 120° + \operatorname{tg} 135° sin 150° + cos 120° + tg 135°
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 ° = 1 2 \sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2} sin 150° = sin ( 180° − 30° ) = sin 30° = 2 1
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 ° = − 1 2 \cos 120° = \cos(180° - 60°) = -\cos 60° = -\frac{1}{2} cos 120° = cos ( 180° − 60° ) = − cos 60° = − 2 1
tg 135 ° = tg ( 180 ° − 45 ° ) = − tg 45 ° = − 1 \operatorname{tg} 135° = \operatorname{tg}(180° - 45°) = -\operatorname{tg} 45° = -1 tg 135° = tg ( 180° − 45° ) = − tg 45° = − 1
Suma: 1 2 − 1 2 − 1 = − 1 \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 = -1 2 1 − 2 1 − 1 = − 1
Odpowiedź: − 1 -1 − 1
Typowe błędy ✗ Pominięcie znaku: dla kąta rozwartego cos α \cos\alpha cos α ✗ sin 2 α \sin^2\alpha sin 2 α sin ( α 2 ) \sin(\alpha^2) sin ( α 2 ) ( sin α ) 2 (\sin\alpha)^2 ( sin α ) 2 ✗ sin α + cos α = 1 \sin\alpha + \cos\alpha = 1 sin α + cos α = 1 kwadratów Na maturze Na maturze
Typowe zadanie zamknięte: „Kąt α \alpha α sin α = … \sin\alpha = \ldots sin α = … cos α \cos\alpha cos α