Co musisz wiedzieć W trójkącie prostokątnym każdy kąt ostry wyznacza trzy stosunki boków. Najważniejsze, żeby dobrze nazwać boki względem kąta α \alpha α naprzeciw przyległa
Boki nazywamy względem kąta α. b (przyległa) a (naprzeciw) c α A C B Boki nazywamy względem kąta α. Funkcje trygonometryczne kąta ostregona karcie wzorów → sin α = a c cos α = b c tg α = a b \sin\alpha = \frac{a}{c} \qquad \cos\alpha = \frac{b}{c} \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b} sin α = c a cos α = c b tg α = b a 30 ° 30° 30° 45 ° 45° 45° 60 ° 60° 60° sin \sin sin 1 2 \frac{1}{2} 2 1 2 2 \frac{\sqrt{2}}{2} 2 2 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 2 3 cos \cos cos 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 2 3 2 2 \frac{\sqrt{2}}{2} 2 2 1 2 \frac{1}{2} 2 1 tg \operatorname{tg} tg 3 3 \frac{\sqrt{3}}{3} 3 3 1 1 1 3 \sqrt{3} 3
Wskazówka
Wartości dla innych kątów odczytasz z tablic sin α = cos ( 90 ° − α ) \sin\alpha = \cos(90° - \alpha) sin α = cos ( 90° − α ) Schemat krok po kroku Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:
1 Zaznacz kąt i nazwij boki
Który bok jest naprzeciw kąta, który przyległy, który jest przeciwprostokątną?
2 Wybierz funkcję
Łączy bok, który znasz, z bokiem, którego szukasz.
3 Ułóż i rozwiąż równanie
Np. sin 30 ° = x 10 \sin 30° = \frac{x}{10} sin 30° = 10 x x = 10 ⋅ 1 2 x = 10\cdot\frac{1}{2} x = 10 ⋅ 2 1
4 Sprawdź Pitagorasem
a 2 + b 2 = c 2 a^2 + b^2 = c^2 a 2 + b 2 = c 2
Rozwiązane przykłady Przykład 1
Wartości funkcji
Przyprostokątne trójkąta mają długości 3 3 3 4 4 4 3 3 3
b (przyległa) a (naprzeciw) c α A C B Przeciwprostokątna: c = 9 + 16 = 5 c = \sqrt{9 + 16} = 5 c = 9 + 16 = 5
sin α = 3 5 \sin\alpha = \frac{3}{5} sin α = 5 3 cos α = 4 5 \cos\alpha = \frac{4}{5} cos α = 5 4 tg α = 3 4 \operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4} tg α = 4 3
Odpowiedź: sin α = 3 5 \sin\alpha = \frac{3}{5} sin α = 5 3 cos α = 4 5 \cos\alpha = \frac{4}{5} cos α = 5 4 tg α = 3 4 \operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4} tg α = 4 3
Przeciwprostokątna ma długość 10 10 10 30 ° 30° 30°
Naprzeciw kąta 30 ° 30° 30° x = 10 ⋅ sin 30 ° = 10 ⋅ 1 2 = 5 x = 10\cdot\sin 30° = 10\cdot\frac{1}{2} = 5 x = 10 ⋅ sin 30° = 10 ⋅ 2 1 = 5
Przyległa: y = 10 ⋅ cos 30 ° = 10 ⋅ 3 2 = 5 3 y = 10\cdot\cos 30° = 10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} y = 10 ⋅ cos 30° = 10 ⋅ 2 3 = 5 3
Kontrola: 25 + 75 = 100 25 + 75 = 100 25 + 75 = 100
Odpowiedź: 5 5 5 5 3 5\sqrt{3} 5 3
Przykład 3
Zadanie z życia
Drabinę o długości 5 5 5 60 ° 60° 60°
Drabina to przeciwprostokątna, wysokość – przyprostokątna naprzeciw kąta 60 ° 60° 60°
h = 5 ⋅ sin 60 ° = 5 3 2 ≈ 4,33 h = 5\cdot\sin 60° = \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4{,}33 h = 5 ⋅ sin 60° = 2 5 3 ≈ 4 , 33
Odpowiedź: 5 3 2 ≈ 4,33 \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4{,}33 2 5 3 ≈ 4 , 33
Typowe błędy ✗ Nazywanie boków bez patrzenia na kąt – „naprzeciw” zależy od tego, który kąt rozważasz. ✗ Mylenie wartości sin 30 ° \sin 30° sin 30° cos 30 ° \cos 30° cos 30° ✗ Tangens jako przyległa naprzeciw \frac{\text{przyległa}}{\text{naprzeciw}} naprzeciw przyleg ł a