Ciąg geometryczny

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

W ciągu geometrycznym każdy wyraz powstaje z poprzedniego przez pomnożenie przez tę samą liczbę $q$ (iloraz). Np. $3, 6, 12, 24, \ldots$ ma $q = 2$ .

n-ty wyrazna karcie wzorów →

a_n = a_1\cdot q^{n-1}

Suma n początkowych wyrazówna karcie wzorów →

S_n = a_1\cdot\frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1) \qquad S_n = n\cdot a_1 \quad (q = 1)

Trzy kolejne wyrazyna karcie wzorów →

a, b, c \text{ – geometryczny} \iff b^2 = a\cdot c

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wypisz dane
$a_1$ , $q$ , któreś wyrazy, suma?
2
Wyraź wyrazy przez a₁ i q
$a_4 = a_1 q^3$ – dostajesz równania.
3
Podziel równania stronami
$\frac{a_5}{a_2} = q^3$ – najszybciej wyznaczysz $q$ .
4
Oblicz, o co pytają
Wyraz, sumę, a przy trzech wyrazach – warunek $b^2 = ac$ .

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Wyraz i suma

W ciągu geometrycznym $a_1 = 3$ i $q = 2$ . Oblicz $a_5$ i $S_5$ .

$a_5 = 3\cdot 2^4 = 48$
$S_5 = 3\cdot\frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3\cdot\frac{-31}{-1} = 93$
Sprawdzenie: $3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$ . ✓

Odpowiedź: $a_5 = 48$ , $S_5 = 93$

Przykład 2

Iloraz z dwóch wyrazów

W ciągu geometrycznym $a_2 = 6$ i $a_5 = 48$ . Wyznacz $q$ i $a_1$ .

$\frac{a_5}{a_2} = q^3 = \frac{48}{6} = 8$ , więc $q = 2$ .
$a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{6}{2} = 3$ .

Odpowiedź: $q = 2$ , $a_1 = 3$

Przykład 3

Trzy wyrazy z parametrem

Liczby $x$ , $6$ , $x + 5$ są (w tej kolejności) trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wyznacz $x$ .

Warunek: $6^2 = x(x + 5)$ , czyli $x^2 + 5x - 36 = 0$ .
$\Delta = 25 + 144 = 169$ , $x = \frac{-5 - 13}{2} = -9$ lub $x = \frac{-5 + 13}{2} = 4$ .
Sprawdzenie: $4, 6, 9$ ( $q = \frac{3}{2}$ ) oraz $-9, 6, -4$ ( $q = -\frac{2}{3}$ ). Oba są poprawne.

Odpowiedź: $x = 4$ lub $x = -9$

Typowe błędy