Ciąg arytmetyczny

Spis treści

Co musisz wiedzieć

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz powstaje z poprzedniego przez dodanie tej samej liczby $r$ (różnicy). Np. $3, 7, 11, 15, \ldots$ ma $r = 4$ .

a_n = a_1 + (n - 1)r

Suma n początkowych wyrazówna karcie wzorów →

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2}\cdot n

a, b, c \text{ – arytmetyczny} \iff b = \frac{a + c}{2} \iff 2b = a + c

Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiednich.

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wypisz dane
Co znasz: $a_1$ , $r$ , któryś wyraz, sumę?
2
Wyraź wyrazy przez a₁ i r
$a_5 = a_1 + 4r$ , $a_{10} = a_1 + 9r$ – dostajesz równania.
3
Rozwiąż równanie lub układ
Zwykle układ dwóch równań z niewiadomymi $a_1$ i $r$ .
4
Oblicz, o co pytają
Wyraz, sumę lub liczbę wyrazów.

Przykład 1

Wyraz i suma

W ciągu arytmetycznym $a_1 = 3$ i $r = 4$ . Oblicz $a_{10}$ i sumę dziesięciu początkowych wyrazów.

Odpowiedź: $a_{10} = 39$ , $S_{10} = 210$

Przykład 2

Dwa wyrazy dane

W ciągu arytmetycznym $a_3 = 7$ i $a_7 = 19$ . Wyznacz $a_1$ i $r$ .

Odpowiedź: $a_1 = 1$ , $r = 3$

Przykład 3

Trzy wyrazy z parametrem

Liczby $x - 1$ , $2x$ , $x + 7$ są (w tej kolejności) trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz $x$ .

Odpowiedź: $x = 3$