Ciągi – wzór ogólny i rekurencyjny

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Ciąg liczbowy to ponumerowana lista liczb: $a_1, a_2, a_3, \ldots$ Formalnie to funkcja, której argumentami są liczby naturalne dodatnie $n = 1, 2, 3, \ldots$

Wzór ogólny pozwala od razu obliczyć dowolny wyraz: $a_n = n^2 - 3n$ , więc $a_5 = 25 - 15 = 10$ .
Wzór rekurencyjny podaje pierwszy wyraz i sposób liczenia kolejnego z poprzedniego: $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = 3a_n - 1$ .

Wykres ciągu aₙ = n² − 3n to osobne punkty, a nie linia.

Monotoniczność

Badasz znak różnicy $a_{n+1} - a_n$ :

$a_{n+1} - a_n > 0$ dla każdego $n$ – ciąg rosnący,
$a_{n+1} - a_n < 0$ dla każdego $n$ – ciąg malejący,
$a_{n+1} - a_n = 0$ – ciąg stały.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Rozpoznaj typ wzoru
Ogólny ( $a_n = \ldots n \ldots$ ) czy rekurencyjny ( $a_{n+1} = \ldots a_n \ldots$ )?
2
Licz wyrazy
Ogólny – podstaw $n$ . Rekurencyjny – licz po kolei od $a_1$ .
3
Szukając numeru wyrazu – rozwiąż równanie
Pamiętaj: $n$ musi być liczbą naturalną dodatnią.
4
Odrzuć nienaturalne rozwiązania
$n = -2$ czy $n = 2{,}5$ nie są numerami wyrazów.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Numer wyrazu

Dany jest ciąg $a_n = n^2 - 3n$ . Który wyraz tego ciągu jest równy $10$ ?

$n^2 - 3n = 10 \iff n^2 - 3n - 10 = 0$ .
$(n - 5)(n + 2) = 0$ , więc $n = 5$ lub $n = -2$ .
$n$ musi być naturalne dodatnie, więc $n = 5$ .

Odpowiedź: Piąty wyraz: $a_5 = 10$

Przykład 2

Wzór rekurencyjny

Ciąg określony jest wzorem $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = 3a_n - 1$ . Oblicz $a_4$ .

$a_2 = 3\cdot 2 - 1 = 5$
$a_3 = 3\cdot 5 - 1 = 14$
$a_4 = 3\cdot 14 - 1 = 41$

Odpowiedź: $a_4 = 41$

Przykład 3

Ile wyrazów ujemnych?

Ile wyrazów ciągu $a_n = n^2 - 8n + 7$ jest ujemnych?

$n^2 - 8n + 7 < 0 \iff (n - 1)(n - 7) < 0 \iff n \in (1, 7)$ .
Liczby naturalne w tym przedziale: $2, 3, 4, 5, 6$ .

Odpowiedź: $5$ wyrazów

Typowe błędy

Liczenie $a_{n+1}$ jako $a_n + 1$ – to zupełnie co innego.
Pozostawienie ujemnego lub ułamkowego $n$ jako numeru wyrazu.
Rysowanie wykresu ciągu jako ciągłej linii.