Zadania optymalizacyjne

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Zadanie optymalizacyjne pyta: kiedy coś jest największe lub najmniejsze? Na poziomie podstawowym prawie zawsze prowadzi do funkcji kwadratowej, a odpowiedź kryje się w jej wierzchołku.

Wybierz jedną zmienną $x$ (np. długość boku, obniżkę ceny).
Wyraź badaną wielkość jako funkcję tej zmiennej, np. $P(x) = x(40 - 2x)$ .
Ustal dziedzinę – długości muszą być dodatnie, ceny nieujemne.
Oblicz $p = \frac{-b}{2a}$ i sprawdź, czy $p$ należy do dziedziny.
Odpowiedz na pytanie z zadania – często chodzi o wymiary, a nie o samą wartość.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Oznacz zmienną
Opisz słowami, co oznacza $x$ i w jakich jednostkach.
2
Zbuduj funkcję
Wszystkie inne wielkości wyraź przez $x$ i ułóż wzór na badaną wielkość.
3
Wyznacz dziedzinę
Z warunków zadania (długości $> 0$ itp.).
4
Znajdź wierzchołek
$p = \frac{-b}{2a}$ , sprawdź $p \in D$ , oblicz wartość.
5
Sformułuj odpowiedź
Odpowiedz dokładnie na pytanie – wymiary, cena, wartość.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Największy iloczyn

Suma dwóch liczb jest równa $10$ . Jakie to liczby, jeśli ich iloczyn jest największy?

Liczby: $x$ i $10 - x$ . Iloczyn: $P(x) = x(10 - x) = -x^2 + 10x$ .
$a = -1 < 0$ , więc w wierzchołku jest maksimum: $p = \frac{-10}{-2} = 5$ .
Druga liczba: $10 - 5 = 5$ , iloczyn $25$ .

Odpowiedź: $5$ i $5$ (iloczyn $25$ )

Przykład 2

Największe pole przy murze

Z siatki o długości $40$ m trzeba ogrodzić prostokątny wybieg przylegający do muru (z tej strony siatki nie ma). Jakie wymiary da największe pole?

Boki prostopadłe do muru: $x$ , bok równoległy: $40 - 2x$ .
Pole: $P(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x$ , dziedzina $x \in (0, 20)$ .
$p = \frac{-40}{-4} = 10 \in (0, 20)$ .
Wymiary: $10$ m i $40 - 20 = 20$ m, pole $200\ \text{m}^2$ .

Odpowiedź: $10\ \text{m} \times 20\ \text{m}$ , pole $200\ \text{m}^2$

Przykład 3

Największy przychód

Sklep sprzedaje dziennie $100$ sztuk towaru po $20$ zł. Każda obniżka ceny o $1$ zł zwiększa sprzedaż o $10$ sztuk. Przy jakiej cenie przychód będzie największy?

$x$ – obniżka w zł. Cena: $20 - x$ , sprzedaż: $100 + 10x$ .
$P(x) = (20 - x)(100 + 10x) = -10x^2 + 100x + 2000$ , $x \in \langle 0, 20)$ .
$p = \frac{-100}{-20} = 5$ . Cena: $15$ zł, sprzedaż: $150$ sztuk.
Przychód: $15\cdot 150 = 2250$ zł.

Odpowiedź: Cena $15$ zł (przychód $2250$ zł)

Typowe błędy

Podanie $x$ (np. obniżki) zamiast odpowiedzi na pytanie (cena po obniżce).
Pominięcie dziedziny – albo wierzchołka poza dziedziną.
Użycie dwóch zmiennych bez związku między nimi – musisz wyrazić wszystko przez jedną.