Funkcja wykładnicza i proporcjonalność odwrotna

Spis treści

Co musisz wiedzieć

f(x) = a^x, \quad a > 0,\ a \neq 1

Dziedzina: $\mathbb{R}$ , zbiór wartości: $(0, +\infty)$ – wartości są zawsze dodatnie.
Wykres zawsze przechodzi przez punkt $(0, 1)$ , bo $a^0 = 1$ .
$a > 1$ – funkcja rosnąca; $0 < a < 1$ – malejąca.
Oś $OX$ (prosta $y = 0$ ) jest asymptotą poziomą – wykres się do niej zbliża, ale jej nie przecina.

Wykresy y = 2ˣ i y = (½)ˣ są symetryczne względem osi OY.

f(x) = \frac{a}{x}, \quad a \neq 0

Wykres to hiperbola. Asymptoty: oś $OX$ i oś $OY$ .

Dziedzina i zbiór wartości: $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .
$a > 0$ – ramiona w I i III ćwiartce, funkcja malejąca w $(-\infty, 0)$ i osobno w $(0, +\infty)$ .
$a < 0$ – ramiona w II i IV ćwiartce, funkcja rosnąca w każdym z tych przedziałów osobno.
Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne, gdy $x\cdot y = a$ (stały iloczyn).

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Rozpoznaj typ funkcji
$x$ w wykładniku → wykładnicza; $x$ w mianowniku → proporcjonalność odwrotna.
2
Wyznacz parametr z punktu
Podstaw współrzędne punktu do wzoru i rozwiąż równanie.
3
Zapisz własności
Dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność, asymptoty.
4
Oblicz, o co pytają
Wartość dla danego argumentu lub argument dla danej wartości.

Przykład 1

Wartości funkcji wykładniczej

Dla $f(x) = 2^x$ oblicz $f(3)$ , $f(-2)$ oraz rozwiąż równanie $f(x) = 16$ .

$f(3) = 2^3 = 8$ , $f(-2) = 2^{-2} = \frac{1}{4}$ .
$2^x = 16 = 2^4$ , więc $x = 4$ .
Równe potęgi o tej samej podstawie mają równe wykładniki.

Odpowiedź: $8$ ; $\frac{1}{4}$ ; $x = 4$

Przykład 2

Wyznaczanie a

Wykres funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$ przechodzi przez punkt $(2, 3)$ . Wyznacz $a$ i oblicz $f(-3)$ .

Odpowiedź: $a = 6$ , $f(-3) = -2$

Przykład 3

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

6 pracowników wykonuje pewną pracę w 10 dni. Ilu pracowników (pracujących w tym samym tempie) wykona ją w 4 dni?

Liczba pracowników i liczba dni są odwrotnie proporcjonalne: iloczyn jest stały.
$6\cdot 10 = 60$ „dniówek”, więc $n\cdot 4 = 60$ .
$n = 15$

Odpowiedź: $15$ pracowników

Twierdzenie, że $a^x$ może być ujemne lub równe $0$ – zbiór wartości to $(0, +\infty)$ .
Mówienie, że $\frac{a}{x}$ jest malejąca w całej dziedzinie.
Traktowanie odwrotnej proporcjonalności jak prostej (więcej pracowników → więcej dni).