Co musisz wiedzieć W geometrii analitycznej punkty opisujesz współrzędnymi, a długości i położenia liczysz
Różnice współrzędnych to przyprostokątne, odcinek AB – przeciwprostokątna. x y -1 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3 4 5 6 7 0 A B S Różnice współrzędnych to przyprostokątne, odcinek AB – przeciwprostokątna. Długość odcinkana karcie wzorów → ∣ A B ∣ = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} ∣ A B ∣ = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 Środek odcinkana karcie wzorów → S = ( x A + x B 2 , y A + y B 2 ) S = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right) S = ( 2 x A + x B , 2 y A + y B ) Wskazówka
Środek odcinka to średnia x B = 2 x S − x A x_B = 2x_S - x_A x B = 2 x S − x A Schemat krok po kroku Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:
1 Wypisz współrzędne
A = ( x A , y A ) A = (x_A, y_A) A = ( x A , y A ) B = ( x B , y B ) B = (x_B, y_B) B = ( x B , y B )
2 Podstaw do wzoru
Różnice w nawiasach, każda do kwadratu.
3 Uprość pierwiastek
Wyłącz czynnik spod pierwiastka: 20 = 2 5 \sqrt{20} = 2\sqrt{5} 20 = 2 5
4 Sprawdź na rysunku
Szybki szkic pozwala wyłapać błędy znaków.
Rozwiązane przykłady Przykład 1
Długość i środek
Dane są punkty A = ( 1 , 2 ) A = (1, 2) A = ( 1 , 2 ) B = ( 4 , 6 ) B = (4, 6) B = ( 4 , 6 ) A B AB A B
∣ A B ∣ = ( 4 − 1 ) 2 + ( 6 − 2 ) 2 = 9 + 16 = 5 |AB| = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 ∣ A B ∣ = ( 4 − 1 ) 2 + ( 6 − 2 ) 2 = 9 + 16 = 5
S = ( 1 + 4 2 , 2 + 6 2 ) = ( 2,5 ; 4 ) S = \left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 6}{2}\right) = (2{,}5;\ 4) S = ( 2 1 + 4 , 2 2 + 6 ) = ( 2 , 5 ; 4 )
Odpowiedź: ∣ A B ∣ = 5 |AB| = 5 ∣ A B ∣ = 5 S = ( 2,5 ; 4 ) S = (2{,}5;\ 4) S = ( 2 , 5 ; 4 )
Przykład 2
Brakujący koniec
Punkt S = ( 3 , − 1 ) S = (3, -1) S = ( 3 , − 1 ) A B AB A B A = ( 1 , 2 ) A = (1, 2) A = ( 1 , 2 ) B B B
1 + x B 2 = 3 \frac{1 + x_B}{2} = 3 2 1 + x B = 3 x B = 5 x_B = 5 x B = 5
2 + y B 2 = − 1 \frac{2 + y_B}{2} = -1 2 2 + y B = − 1 y B = − 4 y_B = -4 y B = − 4
Odpowiedź: B = ( 5 , − 4 ) B = (5, -4) B = ( 5 , − 4 )
Przykład 3
Trójkąt równoramienny
Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A = ( 1 , 1 ) A = (1, 1) A = ( 1 , 1 ) B = ( 5 , 1 ) B = (5, 1) B = ( 5 , 1 ) C = ( 3 , 5 ) C = (3, 5) C = ( 3 , 5 )
∣ A C ∣ = 2 2 + 4 2 = 20 = 2 5 |AC| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ∣ A C ∣ = 2 2 + 4 2 = 20 = 2 5
∣ B C ∣ = ( − 2 ) 2 + 4 2 = 20 = 2 5 |BC| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ∣ B C ∣ = ( − 2 ) 2 + 4 2 = 20 = 2 5
∣ A C ∣ = ∣ B C ∣ |AC| = |BC| ∣ A C ∣ = ∣ B C ∣ ∣ A B ∣ = 4 |AB| = 4 ∣ A B ∣ = 4
Obwód: 4 + 4 5 4 + 4\sqrt{5} 4 + 4 5
Odpowiedź: Obwód 4 + 4 5 4 + 4\sqrt{5} 4 + 4 5
Typowe błędy ✗ Odejmowanie liczby ujemnej: 3 − ( − 2 ) = 5 3 - (-2) = 5 3 − ( − 2 ) = 5 1 1 1 ✗ Środek jako różnica zamiast średniej: x B − x A 2 \frac{x_B - x_A}{2} 2 x B − x A ✗ Brak pierwiastka na końcu – wynik to 25 = 5 \sqrt{25} = 5 25 = 5 25 25 25