Bryły obrotowe · Maturka

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Bryły obrotowe powstają przez obrót figury płaskiej wokół prostej: walec – prostokąta, stożek – trójkąta prostokątnego, kula – półkola. Przekrój osiowy (przecięcie płaszczyzną przez oś) to klucz do obliczeń.

Stożek: promień r, wysokość H, tworząca l tworzą trójkąt prostokątny.

Bryła	Objętość	Pole powierzchni	Przekrój osiowy
walec	$\pi r^2 H$	$2\pi r^2 + 2\pi r H$	prostokąt $2r \times H$
stożek	$\frac{1}{3}\pi r^2 H$	$\pi r^2 + \pi r l$	trójkąt równoramienny
kula	$\frac{4}{3}\pi r^3$	$4\pi r^2$	koło o promieniu $r$

Tworząca stożka

l^2 = r^2 + H^2

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Narysuj przekrój osiowy
Prostokąt, trójkąt lub koło – na nim widać wszystkie wymiary.
2
Wyznacz r, H (i l)
Z danych i Pitagorasa lub trygonometrii.
3
Podstaw do wzorów
Wynik zostaw z $\pi$ , chyba że zadanie każe przybliżyć.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Stożek

Promień podstawy stożka ma długość $3$ , a wysokość $4$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.

Tworząca: $l = \sqrt{9 + 16} = 5$ .
$V = \frac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 4 = 12\pi$
$P_c = \pi\cdot 9 + \pi\cdot 3\cdot 5 = 24\pi$

Odpowiedź: $V = 12\pi$ , $P_c = 24\pi$

Przykład 2

Walec z przekroju

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku $6$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca.

Bok kwadratu to średnica i wysokość: $r = 3$ , $H = 6$ .
$V = \pi\cdot 9\cdot 6 = 54\pi$
$P_c = 2\pi\cdot 9 + 2\pi\cdot 3\cdot 6 = 18\pi + 36\pi = 54\pi$

Odpowiedź: $V = 54\pi$ , $P_c = 54\pi$

Przykład 3

Kula

Objętość kuli jest równa $36\pi$ . Oblicz pole jej powierzchni.

$\frac{4}{3}\pi r^3 = 36\pi$ , więc $r^3 = 27$ i $r = 3$ .
$P = 4\pi\cdot 9 = 36\pi$

Odpowiedź: $36\pi$

Typowe błędy

Podstawianie średnicy zamiast promienia.
Mylenie wysokości stożka $H$ z tworzącą $l$ .
Pole boczne stożka jako $\pi r H$ – poprawnie $\pi r l$ .