Ostrosłupy · Maturka

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Ostrosłup ma jedną podstawę i ściany boczne będące trójkątami o wspólnym wierzchołku. W ostrosłupie prawidłowym podstawa jest wielokątem foremnym, a spodek wysokości leży w jej środku.

Objętość i polena karcie wzorów →

V = \frac{1}{3}P_p\cdot H \qquad P_c = P_p + P_b

Podstawa	Gdzie jest spodek wysokości S
kwadrat	w punkcie przecięcia przekątnych: $\|SC\| = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
trójkąt równoboczny	w środku ciężkości: $\frac{2}{3}h$ od wierzchołka, $\frac{1}{3}h$ od boku
sześciokąt foremny	w środku: odległość od wierzchołka $= a$

Kąt α nachylenia krawędzi bocznej do podstawy leży w trójkącie SCW.

Dwa ważne kąty

Krawędź boczna a podstawa: trójkąt z wysokością $H$ , odcinkiem od spodka do wierzchołka podstawy i krawędzią boczną.
Ściana boczna a podstawa: trójkąt z wysokością $H$ , odcinkiem od spodka do środka krawędzi podstawy i wysokością ściany bocznej $h$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Narysuj ostrosłup i jego wysokość
Zaznacz spodek wysokości w środku podstawy.
2
Wybierz właściwy trójkąt prostokątny
Do krawędzi – odcinek do wierzchołka; do ściany – odcinek do środka boku.
3
Licz w trójkącie
Pitagoras lub trygonometria.
4
Oblicz objętość / pole
Pamiętaj o $\frac{1}{3}$ w objętości.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Objętość i pole

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $6$ , a wysokość ostrosłupa $4$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.

$V = \frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4 = 48$
Wysokość ściany bocznej: trójkąt $H = 4$ i połowa boku $3$ , więc $h = \sqrt{16 + 9} = 5$ .
$P_b = 4\cdot\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 5 = 60$ , $P_c = 36 + 60 = 96$ .

Odpowiedź: $V = 48$ , $P_c = 96$

Przykład 2

Kąt nachylenia krawędzi bocznej

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $4$ , a wysokość $2\sqrt{6}$ . Oblicz kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.

$|SC|$ to połowa przekątnej podstawy: $\frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ .
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{|SC|} = \frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{3}$
$\alpha = 60°$

Odpowiedź: $60°$

Przykład 3

Ostrosłup trójkątny

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość $6$ , a jego wysokość $4$ . Oblicz objętość.

$P_p = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$
$V = \frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 4 = 12\sqrt{3}$

Odpowiedź: $12\sqrt{3}$

Typowe błędy

Brak $\frac{1}{3}$ we wzorze na objętość.
Mylenie wysokości ostrosłupa $H$ z wysokością ściany bocznej $h$ .
Kąt ściany bocznej liczony z odcinkiem do wierzchołka zamiast do środka boku.