Graniastosłupy · Maturka

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Graniastosłup ma dwie przystające, równoległe podstawy i ściany boczne będące równoległobokami. W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami, a w prawidłowym dodatkowo podstawa jest wielokątem foremnym (np. trójkątem równobocznym, kwadratem).

Objętość i polena karcie wzorów →

V = P_p\cdot H \qquad P_c = 2P_p + P_b

$P_p$ – pole podstawy, $H$ – wysokość, $P_b$ – pole powierzchni bocznej.

Przekątna prostopadłościanu i sześcianuna karcie wzorów →

d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \qquad d_{\text{sześcianu}} = a\sqrt{3}

Kąt nachylenia przekątnej do podstawy

Kąt α między przekątną AG a jej rzutem AC na podstawę.

Kąt między przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy to kąt między tą przekątną a przekątną podstawy. Powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych: przekątna podstawy i wysokość $H$ . Stąd $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{d_p}$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Narysuj bryłę
Zaznacz krawędzie niewidoczne linią przerywaną.
2
Znajdź trójkąt prostokątny
Wysokość + przekątna podstawy + przekątna bryły albo krawędź.
3
Oblicz brakujące długości
Pitagoras, trygonometria, trójkąty szczególne.
4
Oblicz objętość lub pole
Pole podstawy, pole boczne, $V = P_p\cdot H$ .

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Przekątna prostopadłościanu

Krawędzie prostopadłościanu mają długości $3$ , $4$ i $12$ . Oblicz długość jego przekątnej.

$d = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$

Odpowiedź: $13$

Przykład 2

Objętość i pole

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $4$ , a wysokość $6$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.

Podstawa to kwadrat: $P_p = 16$ .
$V = 16\cdot 6 = 96$
Ściany boczne: $4$ prostokąty $4 \times 6$ , $P_b = 96$ .
$P_c = 2\cdot 16 + 96 = 128$

Odpowiedź: $V = 96$ , $P_c = 128$

Przykład 3

Kąt nachylenia

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $4$ , a wysokość $4\sqrt{6}$ . Oblicz kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.

Przekątna podstawy (kwadratu): $d_p = 4\sqrt{2}$ .
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{d_p} = \frac{4\sqrt{6}}{4\sqrt{2}} = \sqrt{3}$
$\operatorname{tg}\alpha = \sqrt{3}$ , więc $\alpha = 60°$ .

Odpowiedź: $60°$

Typowe błędy

Kąt nachylenia przekątnej liczony do krawędzi podstawy zamiast do przekątnej podstawy.
Pole całkowite bez drugiej podstawy: $P_c = 2P_p + P_b$ , a nie $P_p + P_b$ .
Mylenie „prawidłowy” z „prosty” – prawidłowy ma w podstawie wielokąt foremny.