Spis treści
Co musisz wiedzieć
Równanie okręgu o środku S = (a, b) i promieniu rna karcie wzorów →(x−a)2+(y−b)2=r2 Czasem równanie jest „rozwinięte”, np. x2+y2−4x+6y−3=0. Wtedy uzupełniasz do pełnych kwadratów, żeby odczytać środek i promień.
Położenie punktu i prostej
| Porównanie | Punkt P | Prosta l |
|---|
| d<r | wewnątrz okręgu | sieczna (2 punkty wspólne) |
| d=r | na okręgu | styczna (1 punkt wspólny) |
| d>r | na zewnątrz | rozłączna |
Dla punktu d=∣SP∣, dla prostej d to odległość środka S od prostej.
Schemat krok po kroku
Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:
- 1
Doprowadź do postaci kanonicznej
Jeśli trzeba – uzupełnij do kwadratów: x2−4x=(x−2)2−4.
- 2
Odczytaj S i r
Znaki odwrotne niż w nawiasach, r=prawa strona.
- 3
Oblicz potrzebną odległość
Od środka do punktu lub do prostej.
- 4
Porównaj z r
I zapisz wniosek.
Rozwiązane przykłady
Przykład 1
Środek, promień, położenie punktu
Dany jest okrąg (x−2)2+(y+1)2=9. Podaj środek i promień oraz zbadaj położenie punktu P=(5,3).
S=(2,−1), r=9=3.
∣SP∣=32+42=5.
5>3, więc punkt leży na zewnątrz okręgu.
Odpowiedź: S=(2,−1), r=3, P na zewnątrz
Przykład 2
Równanie z punktu na okręgu
Napisz równanie okręgu o środku S=(1,2) przechodzącego przez punkt A=(4,6).
r=∣SA∣=32+42=5.
(x−1)2+(y−2)2=25
Odpowiedź: (x−1)2+(y−2)2=25
Przykład 3
Uzupełnianie do kwadratów
Wyznacz środek i promień okręgu x2+y2−4x+6y−3=0.
x2−4x=(x−2)2−4, y2+6y=(y+3)2−9.
(x−2)2−4+(y+3)2−9−3=0
(x−2)2+(y+3)2=16
Odpowiedź: S=(2,−3), r=4
Typowe błędy
- ✗Odczyt środka ze złymi znakami: z (x+1)2 środek ma x=−1.
- ✗Promień równy prawej stronie zamiast jej pierwiastkowi.
- ✗Przy uzupełnianiu do kwadratu – zapomnienie o odjęciu dodanej liczby.