Przejdź do treści
Maturka

Kombinatoryka i prawdopodobieństwo · lekcja 1 z 2

Kombinatoryka

Reguła mnożenia i dodawania – jak policzyć możliwości bez wypisywania ich wszystkich.

11 min czytania

Spis treści
  1. 1.Co musisz wiedzieć
  2. 2.Schemat krok po kroku
  3. 3.Rozwiązane przykłady
  4. 4.Typowe błędy
  5. 5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Reguła mnożenia
n1⋅n2⋅…⋅nkn_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k

Jeśli wybór składa się z kk etapów, a w każdym jest odpowiednio n1,n2,…n_1, n_2, \ldots możliwości – mnożysz.

Przykład: 3 koszulki i 4 pary spodni dają 3⋅4=123\cdot 4 = 12 zestawów.

Reguła dodawania
∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣|A \cup B| = |A| + |B|

Gdy zbiory możliwości są rozłączne (albo jedno, albo drugie) – dodajesz.

Ustawienia n elementów (permutacje)na karcie wzorów →
n!=1⋅2⋅…⋅nn! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n

Np. 4 osoby w kolejce ustawisz na 4!=244! = 24 sposoby.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

  1. 1

    Podziel wybór na etapy

    Np. cyfra setek, dziesiątek, jedności.

  2. 2

    Zacznij od ograniczeń

    Etapy z warunkami rozpatrz najpierw.

  3. 3

    Policz możliwości w każdym etapie

    Uwzględnij, czy elementy mogą się powtarzać.

  4. 4

    Pomnóż (lub dodaj rozłączne przypadki)

    Czy kolejność ma znaczenie? Jeśli nie – podziel.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Liczby o różnych cyfrach

Ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach?

  1. Cyfra setek: 99 możliwości (bez zera).

  2. Cyfra dziesiątek: 99 (może być zero, ale nie ta z setek).

  3. Cyfra jedności: 88.

  4. 9⋅9⋅8=6489\cdot 9\cdot 8 = 648

Odpowiedź: 648648

Przykład 2

Liczby z ograniczonych cyfr

Ile jest czterocyfrowych liczb parzystych, zapisanych wyłącznie cyframi 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5 (cyfry mogą się powtarzać)?

  1. Ostatnia cyfra parzysta: 22 lub 44 – 22 możliwości.

  2. Pozostałe trzy cyfry: po 55 możliwości.

  3. 5⋅5⋅5⋅2=2505\cdot 5\cdot 5\cdot 2 = 250

Odpowiedź: 250250

Przykład 3

Każdy z każdym

W turnieju gra 88 drużyn, każda z każdą rozgrywa jeden mecz. Ile meczów zostanie rozegranych?

  1. Każda drużyna gra z 77 innymi: 8⋅7=568\cdot 7 = 56.

  2. Każdy mecz policzyliśmy dwa razy (A–B i B–A): 562=28\frac{56}{2} = 28.

Odpowiedź: 2828

Typowe błędy

  • Zero na pierwszym miejscu liczby.
  • Dodawanie zamiast mnożenia przy kolejnych etapach.
  • Liczenie par dwa razy, gdy kolejność nie ma znaczenia.

Na maturze

Koniec lekcji

Oznacz ją jako przeczytaną, żeby odblokować zadania.