Co musisz wiedzieć Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola
Postać Wzór Co widać od razu ogólna f ( x ) = a x 2 + b x + c f(x) = ax^2 + bx + c f ( x ) = a x 2 + b x + c punkt ( 0 , c ) (0, c) ( 0 , c ) O Y OY O Y kanoniczna f ( x ) = a ( x − p ) 2 + q f(x) = a(x - p)^2 + q f ( x ) = a ( x − p ) 2 + q wierzchołek W = ( p , q ) W = (p, q) W = ( p , q ) iloczynowa f ( x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) f ( x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) miejsca zerowe x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2
Wierzchołek parabolina karcie wzorów → p = − b 2 a q = − Δ 4 a = f ( p ) p = \frac{-b}{2a} \qquad q = \frac{-\Delta}{4a} = f(p) p = 2 a − b q = 4 a − Δ = f ( p ) Wskazówka
Zamiast wzoru na q q q q = f ( p ) q = f(p) q = f ( p ) p p p a > 0 a > 0 a > 0 minimum Z W = ⟨ q , + ∞ ) ZW = \langle q, +\infty) Z W = ⟨ q , + ∞ ) ( − ∞ , p ⟩ (-\infty, p\rangle ( − ∞ , p ⟩ ⟨ p , + ∞ ) \langle p, +\infty) ⟨ p , + ∞ ) a < 0 a < 0 a < 0 maksimum Z W = ( − ∞ , q ⟩ ZW = (-\infty, q\rangle Z W = ( − ∞ , q ⟩ ( − ∞ , p ⟩ (-\infty, p\rangle ( − ∞ , p ⟩ ⟨ p , + ∞ ) \langle p, +\infty) ⟨ p , + ∞ ) Oś symetrii paraboli to prosta x = p x = p x = p Wartość największa i najmniejsza w przedziale ⟨m, n⟩ Liczysz wartości funkcji w końcach przedziału wierzchołku p ∈ ⟨ m , n ⟩ p \in \langle m, n\rangle p ∈ ⟨ m , n ⟩
Schemat krok po kroku Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:
1 Odczytaj a, b, c
Znak a a a
2 Oblicz wierzchołek
p = − b 2 a p = \frac{-b}{2a} p = 2 a − b q = f ( p ) q = f(p) q = f ( p )
3 Oblicz miejsca zerowe (jeśli trzeba)
Delta lub rozkład na czynniki.
4 Odczytaj własności
Zbiór wartości, monotoniczność, postać kanoniczna a ( x − p ) 2 + q a(x - p)^2 + q a ( x − p ) 2 + q
Rozwiązane przykłady Dana jest funkcja f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 f(x) = x^2 - 4x + 3 f ( x ) = x 2 − 4 x + 3
p = 4 2 = 2 p = \frac{4}{2} = 2 p = 2 4 = 2 q = f ( 2 ) = 4 − 8 + 3 = − 1 q = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1 q = f ( 2 ) = 4 − 8 + 3 = − 1 W = ( 2 , − 1 ) W = (2, -1) W = ( 2 , − 1 )
Δ = 16 − 12 = 4 \Delta = 16 - 12 = 4 Δ = 16 − 12 = 4 x 1 = 4 − 2 2 = 1 x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1 x 1 = 2 4 − 2 = 1 x 2 = 4 + 2 2 = 3 x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 x 2 = 2 4 + 2 = 3
Postać kanoniczna: f ( x ) = ( x − 2 ) 2 − 1 f(x) = (x - 2)^2 - 1 f ( x ) = ( x − 2 ) 2 − 1
a = 1 > 0 a = 1 > 0 a = 1 > 0 Z W = ⟨ − 1 , + ∞ ) ZW = \langle -1, +\infty) Z W = ⟨ − 1 , + ∞ )
Odpowiedź: W = ( 2 , − 1 ) W = (2, -1) W = ( 2 , − 1 ) x ∈ { 1 , 3 } x \in \{1, 3\} x ∈ { 1 , 3 } f ( x ) = ( x − 2 ) 2 − 1 f(x) = (x-2)^2 - 1 f ( x ) = ( x − 2 ) 2 − 1 Z W = ⟨ − 1 , + ∞ ) ZW = \langle -1, +\infty) Z W = ⟨ − 1 , + ∞ )
Wyznacz zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji f ( x ) = − 2 x 2 + 8 x − 6 f(x) = -2x^2 + 8x - 6 f ( x ) = − 2 x 2 + 8 x − 6
p = − 8 2 ⋅ ( − 2 ) = 2 p = \frac{-8}{2\cdot(-2)} = 2 p = 2 ⋅ ( − 2 ) − 8 = 2 q = f ( 2 ) = − 8 + 16 − 6 = 2 q = f(2) = -8 + 16 - 6 = 2 q = f ( 2 ) = − 8 + 16 − 6 = 2
a = − 2 < 0 a = -2 < 0 a = − 2 < 0
Z W = ( − ∞ , 2 ⟩ ZW = (-\infty, 2\rangle Z W = ( − ∞ , 2 ⟩ ( − ∞ , 2 ⟩ (-\infty, 2\rangle ( − ∞ , 2 ⟩ ⟨ 2 , + ∞ ) \langle 2, +\infty) ⟨ 2 , + ∞ )
Odpowiedź: Z W = ( − ∞ , 2 ⟩ ZW = (-\infty, 2\rangle Z W = ( − ∞ , 2 ⟩
Przykład 3
Wartości w przedziale
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 f(x) = x^2 - 2x - 3 f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 ⟨ − 1 , 4 ⟩ \langle -1, 4\rangle ⟨ − 1 , 4 ⟩
x y -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0 min max p = 2 2 = 1 ∈ ⟨ − 1 , 4 ⟩ p = \frac{2}{2} = 1 \in \langle -1, 4\rangle p = 2 2 = 1 ∈ ⟨ − 1 , 4 ⟩
f ( 1 ) = 1 − 2 − 3 = − 4 f(1) = 1 - 2 - 3 = -4 f ( 1 ) = 1 − 2 − 3 = − 4
Końce: f ( − 1 ) = 1 + 2 − 3 = 0 f(-1) = 1 + 2 - 3 = 0 f ( − 1 ) = 1 + 2 − 3 = 0 f ( 4 ) = 16 − 8 − 3 = 5 f(4) = 16 - 8 - 3 = 5 f ( 4 ) = 16 − 8 − 3 = 5
Porównujemy: − 4 -4 − 4 0 0 0 5 5 5
Odpowiedź: Najmniejsza − 4 -4 − 4 x = 1 x = 1 x = 1 5 5 5 x = 4 x = 4 x = 4
Typowe błędy ✗ Błąd znaku w p = − b 2 a p = \frac{-b}{2a} p = 2 a − b b = − 4 b = -4 b = − 4 p = 2 p = 2 p = 2 − 2 -2 − 2 ✗ Liczenie wartości w wierzchołku, który leży poza przedziałem. ✗ Zbiór wartości podany jako ⟨ p , + ∞ ) \langle p, +\infty) ⟨ p , + ∞ ) ⟨ q , + ∞ ) \langle q, +\infty) ⟨ q , + ∞ ) Na maturze Na maturze
Funkcja kwadratowa to jeden z najważniejszych działów: zadania zamknięte (wierzchołek, zbiór wartości, postać kanoniczna) i otwarte (wartość największa/najmniejsza w przedziale, optymalizacja).