Równania i nierówności

Równania liniowe

Schemat

1. Pozbądź się ułamków
2. Rozwiń nawiasy
3. Przenieś niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą
4. Zredukuj i podziel przez współczynnik
5. Sprawdź

Uważaj

• ✗Mnożenie przez wspólny mianownik tylko jednej strony (albo tylko ułamków).
• ✗Zapominanie o zmianie znaków po minusie przed nawiasem: $-2(x + 2) = -2x - 4$.

Nierówności liniowe

Schemat

1. Usuń ułamki i nawiasy
2. Niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą
3. Podziel przez współczynnik przy x
4. Zapisz zbiór rozwiązań

Uważaj

• ✗Brak zmiany znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną – najczęstszy błąd w tym temacie.
• ✗Zapisywanie odpowiedzi jako $x = 3$ zamiast przedziału.

Układy równań

Schemat

1. Uporządkuj równania
2. Wybierz metodę
3. Wyznacz pierwszą niewiadomą
4. Oblicz drugą niewiadomą
5. Sprawdź w obu równaniach

Uważaj

• ✗Obliczenie tylko jednej niewiadomej i zakończenie zadania.
• ✗Błąd znaku przy odejmowaniu równań stronami – bezpieczniej mnożyć przez $-1$ i dodawać.

Równania kwadratowe

• ★ Wyróżnik:$\Delta = b^2 - 4ac$
• ★ Postać iloczynowa:$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Schemat

1. Doprowadź do postaci ax² + bx + c = 0
2. Sprawdź, czy równanie jest niepełne
3. Odczytaj a, b, c i policz deltę
4. Zastosuj wzory
5. Sprawdź

Uważaj

• ✗Zły znak $b$: w $x^2 - 5x + 6$ jest $b = -5$, więc $b^2 = 25$, a $-b = 5$.
• ✗Dzielenie przez $x$ – gubi rozwiązanie $x = 0$.

Nierówności kwadratowe

Schemat

1. Przenieś wszystko na jedną stronę
2. Znajdź miejsca zerowe
3. Naszkicuj parabolę
4. Odczytaj i zapisz zbiór

Uważaj

• ✗Podanie samych pierwiastków ($x = -2$, $x = 3$) zamiast przedziału.
• ✗Zignorowanie znaku $a$ – odczyt „między” zamiast „na zewnątrz”.

Równania wielomianowe i wymierne

• Iloczyn równy zero:$A\cdot B\cdot C = 0 \iff A = 0 \lor B = 0 \lor C = 0$
• Ułamek równy zero:$\frac{W(x)}{P(x)} = 0 \iff W(x) = 0 \;\land\; P(x) \neq 0$

Schemat

1. Wyznacz dziedzinę (dla wymiernych)
2. Doprowadź do postaci „… = 0” albo pozbądź się mianownika
3. Rozłóż na czynniki
4. Przyrównaj czynniki do zera
5. Porównaj z dziedziną

Uważaj

• ✗Dzielenie obu stron przez $x$ lub $(x - 3)$ – gubisz rozwiązania.
• ✗Brak dziedziny w równaniu wymiernym i pozostawienie „fałszywego” rozwiązania.