Przejdź do treści
Maturka
Inne działy

Ściąga · dział 7

Planimetria

Kąty i trójkąty

  • Twierdzenie Pitagorasa:a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2
  • ★ Trójkąt równoboczny o boku a:h=a32P=a234h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \qquad P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}
  • ★ Twierdzenie sinusów:asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R
  • ★ Twierdzenie cosinusów:c2=a2+b2−2abcos⁡γc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma

Schemat

  1. Zrób rysunek
  2. Szukaj trójkątów prostokątnych
  3. Wykorzystaj sumę kątów
  4. W dowolnym trójkącie – sinusy lub cosinusy

Uważaj

  • Stosowanie Pitagorasa w trójkącie, który nie jest prostokątny.
  • W Pitagorasie dodawanie kwadratu przeciwprostokątnej: 62+1026^2 + 10^2 zamiast 102−6210^2 - 6^2.

Podobieństwo i twierdzenie Talesa

  • Skala a obwody i pola:Obw2Obw1=kP2P1=k2\frac{\text{Obw}_2}{\text{Obw}_1} = k \qquad \frac{P_2}{P_1} = k^2
  • ★ Twierdzenie Talesa:∣OA∣∣AB∣=∣OC∣∣CD∣∣OA∣∣OB∣=∣OC∣∣OD∣\frac{|OA|}{|AB|} = \frac{|OC|}{|CD|} \qquad \frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OC|}{|OD|}

Schemat

  1. Znajdź trójkąty podobne
  2. Dopasuj odpowiadające boki
  3. Ułóż proporcję
  4. Rozwiąż proporcję

Uważaj

  • Stosunek pól równy kk zamiast k2k^2.
  • Proporcja z nieodpowiadającymi sobie bokami.

Czworokąty

  • ★ Pola:Proˊwnoległoboku=a⋅h=absin⁡αPrombu=d1d22Ptrapezu=a+b2⋅hP_{\text{równoległoboku}} = a\cdot h = ab\sin\alpha \qquad P_{\text{rombu}} = \frac{d_1 d_2}{2} \qquad P_{\text{trapezu}} = \frac{a + b}{2}\cdot h

Schemat

  1. Rozpoznaj czworokąt
  2. Dorysuj wysokość lub przekątną
  3. Licz w trójkącie
  4. Oblicz pole lub obwód

Uważaj

  • Pole rombu jako d1⋅d2d_1\cdot d_2 – brakuje dzielenia przez 22.
  • Traktowanie ramienia trapezu jak wysokości.

Okręgi i koła

  • ★ Promień okręgu wpisanego w dowolny trójkąt:r=2Pa+b+cr = \frac{2P}{a + b + c}

Schemat

  1. Zaznacz środek i promienie
  2. Znajdź łuk, na którym opierają się kąty
  3. Szukaj kątów prostych
  4. Licz

Uważaj

  • Kąt wpisany równy środkowemu – to połowa!
  • Branie kąta wpisanego opartego na innym łuku niż środkowy.

Pola figur

  • ★ Pole trójkąta:P=12a⋅haP=12absin⁡γP = \frac{1}{2}a\cdot h_a \qquad P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma
  • ★ Trójkąt równoboczny:P=a234P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}
  • ★ Koło, wycinek i łuk:P=πr2Pwycinka=α360°⋅πr2l=α360°⋅2πrP = \pi r^2 \qquad P_{\text{wycinka}} = \frac{\alpha}{360°}\cdot\pi r^2 \qquad l = \frac{\alpha}{360°}\cdot 2\pi r

Schemat

  1. Rozpoznaj figurę
  2. Wybierz wzór do danych
  3. Dolicz brakujące długości
  4. Oblicz i podaj jednostki

Uważaj

  • Wzór 12absin⁡γ\frac{1}{2}ab\sin\gamma z kątem, który nie leży między bokami aa i bb.
  • Mylenie pola koła πr2\pi r^2 z obwodem 2πr2\pi r.

Wskazówka: w oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, żeby mieć ściągę w telefonie. Najlepiej wygląda w orientacji pionowej, bez nagłówków przeglądarki.