Przejdź do treści
Maturka
Inne działy

Ściąga · dział 1

Liczby rzeczywiste

Działania na liczbach

  • Związek NWD i NWW:NWD(a,b)⋅NWW(a,b)=a⋅b\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b) = a\cdot b
  • ★ Błąd bezwzględny:Δ=∣x−a∣\Delta = |x - a|
  • ★ Błąd względny:δ=∣x−a∣∣x∣⋅100%\delta = \frac{|x - a|}{|x|}\cdot 100\%

Schemat

  1. Ustal kolejność działań
  2. Wybierz wygodną postać liczb
  3. Licz po jednym działaniu
  4. Uprość wynik
  5. Sprawdź sensowność

Uważaj

  • Dodawanie przed mnożeniem: 2+3⋅4=142 + 3\cdot 4 = 14, a nie 2020.
  • Mylenie −22=−4-2^2 = -4 z (−2)2=4(-2)^2 = 4 – potęga dotyczy tylko tego, co stoi bezpośrednio pod nią.

Potęgi i pierwiastki

  • ★ Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie:am⋅an=am+naman=am−na^m\cdot a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
  • ★ Potęga potęgi, iloczynu i ilorazu:(am)n=am⋅n(ab)n=anbn(ab)n=anbn(a^m)^n = a^{m\cdot n} \qquad (ab)^n = a^n b^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
  • Pierwiastek iloczynu i ilorazu:ab=a⋅bab=ab\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
  • Usuwanie niewymierności:1a=aa1a+b=a−ba−b2\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} \qquad \frac{1}{\sqrt{a}+b} = \frac{\sqrt{a}-b}{a-b^2}

Schemat

  1. Znajdź wspólną podstawę
  2. Zamień pierwiastki na potęgi
  3. Zastosuj prawa działań
  4. Uprość i zapisz wynik

Uważaj

  • 23⋅24=2122^3\cdot 2^4 = 2^{12} – źle! Przy mnożeniu wykładniki się dodaje: 272^7.
  • 9+16=3+4\sqrt{9+16} = 3 + 4 – źle! Pierwiastek z sumy to nie suma pierwiastków: 25=5\sqrt{25} = 5.

Logarytmy

  • ★ Definicja logarytmu:log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b
  • ★ Logarytm iloczynu i ilorazu:log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡aylog⁡axy=log⁡ax−log⁡ay\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \qquad \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y
  • ★ Logarytm potęgi:log⁡axk=k⋅log⁡ax\log_a x^k = k\cdot\log_a x
  • ★ Zamiana podstawy:log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Schemat

  1. Sprawdź podstawy
  2. Połącz logarytmy
  3. Zapisz liczbę jako potęgę podstawy
  4. Odczytaj wynik z definicji

Uważaj

  • log⁡(a+b)=log⁡a+log⁡b\log (a + b) = \log a + \log b – źle! Suma logarytmów to logarytm iloczynu, nie sumy.
  • log⁡axlog⁡ay=log⁡ax−log⁡ay\frac{\log_a x}{\log_a y} = \log_a x - \log_a y – źle! Różnica logarytmów to logarytm ilorazu, a iloraz logarytmów to coś innego.

Procenty

  • O ile procent zmieniła się wartość:nowa−starastara⋅100%\frac{\text{nowa} - \text{stara}}{\text{stara}}\cdot 100\%
  • ★ Kapitał po n okresach:Kn=K(1+p100)nK_n = K\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

Schemat

  1. Zapisz dane
  2. Zamień procent na mnożnik
  3. Ułóż równanie lub wyrażenie
  4. Rozwiąż
  5. Sprawdź sensowność

Uważaj

  • Dzielenie przez nową wartość zamiast przez starą przy liczeniu „o ile procent”.
  • Dodawanie kolejnych procentów: −20%+20%=0%-20\% + 20\% = 0\% – źle, zmiany się mnoży.

Wartość bezwzględna i przedziały

  • ★ Wartość bezwzględna:∣a∣={a,gdy a≥0−a,gdy a<0|a| = \begin{cases} a, & \text{gdy } a \ge 0 \\ -a, & \text{gdy } a < 0 \end{cases}
  • Nierówności z wartością bezwzględną:∣x−a∣≤r  ⟺  x∈⟨a−r, a+r⟩∣x−a∣≥r  ⟺  x∈(−∞, a−r⟩∪⟨a+r, +∞)|x - a| \le r \iff x \in \langle a - r,\, a + r\rangle \qquad |x - a| \ge r \iff x \in (-\infty,\, a - r\rangle \cup \langle a + r,\, +\infty)

Schemat

  1. Zapisz wyrażenie w postaci |x − a|
  2. Odczytaj środek a i promień r
  3. Zaznacz rozwiązanie na osi
  4. Zapisz wynik jako przedział

Uważaj

  • Rozwiązywanie ∣x−2∣≤3|x - 2| \le 3 jako tylko x≤5x \le 5 – zapominasz o drugim końcu.
  • Domykanie przedziału przy nieskończoności: ⟨3,+∞⟩\langle 3, +\infty\rangle – źle, przy ∞\infty zawsze nawias okrągły.

Wskazówka: w oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, żeby mieć ściągę w telefonie. Najlepiej wygląda w orientacji pionowej, bez nagłówków przeglądarki.