Funkcje

Pojęcie funkcji i jej własności

Schemat

1. Ustal, o co pyta zadanie
2. Z wykresu: patrz na odpowiednią oś
3. Ze wzoru: podstaw lub rozwiąż
4. Zwróć uwagę na końce przedziałów

Uważaj

• ✗Mylenie dziedziny (oś $OX$) ze zbiorem wartości (oś $OY$).
• ✗Podawanie miejsca zerowego jako punktu $(3, 0)$ zamiast liczby $3$.

Funkcja liniowa

• Funkcja liniowa:$f(x) = ax + b$
• Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów:$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
• ★ Warunki:$\text{równoległe: } a_1 = a_2 \qquad \text{prostopadłe: } a_1\cdot a_2 = -1$

Schemat

1. Oblicz współczynnik a
2. Podstaw punkt do y = ax + b
3. Wyznacz b
4. Zapisz wzór i sprawdź

Uważaj

• ✗Odwrotna kolejność w liczniku i mianowniku: $a = \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$ – źle.
• ✗Dla prostej prostopadłej zmiana tylko znaku ($a = -3$) zamiast wzięcia odwrotności z przeciwnym znakiem ($a = -\frac{1}{3}$).

Funkcja kwadratowa

• ★ Wierzchołek paraboli:$p = \frac{-b}{2a} \qquad q = \frac{-\Delta}{4a} = f(p)$

Schemat

1. Odczytaj a, b, c
2. Oblicz wierzchołek
3. Oblicz miejsca zerowe (jeśli trzeba)
4. Odczytaj własności

Uważaj

• ✗Błąd znaku w $p = \frac{-b}{2a}$ – np. dla $b = -4$ wychodzi $p = 2$, nie $-2$.
• ✗Liczenie wartości w wierzchołku, który leży poza przedziałem.

Przekształcenia wykresów

Schemat

1. Porównaj wzory
2. Odczytaj wektor lub symetrię
3. Przekształć charakterystyczne punkty
4. Narysuj lub zapisz wynik

Uważaj

• ✗$f(x - 3)$ jako przesunięcie w lewo – to przesunięcie w prawo.
• ✗Mylenie $-f(x)$ (symetria względem $OX$) z $f(-x)$ (symetria względem $OY$).

Funkcja wykładnicza i proporcjonalność odwrotna

• Funkcja wykładnicza:$f(x) = a^x, \quad a > 0,\ a \neq 1$
• Proporcjonalność odwrotna:$f(x) = \frac{a}{x}, \quad a \neq 0$

Schemat

1. Rozpoznaj typ funkcji
2. Wyznacz parametr z punktu
3. Zapisz własności
4. Oblicz, o co pytają

Uważaj

• ✗Twierdzenie, że $a^x$ może być ujemne lub równe $0$ – zbiór wartości to $(0, +\infty)$.
• ✗Mówienie, że $\frac{a}{x}$ jest malejąca w całej dziedzinie.

Zadania optymalizacyjne

Schemat

1. Oznacz zmienną
2. Zbuduj funkcję
3. Wyznacz dziedzinę
4. Znajdź wierzchołek
5. Sformułuj odpowiedź

Uważaj

• ✗Podanie $x$ (np. obniżki) zamiast odpowiedzi na pytanie (cena po obniżce).
• ✗Pominięcie dziedziny – albo wierzchołka poza dziedziną.