Ciągi

Ciągi – wzór ogólny i rekurencyjny

Schemat

1. Rozpoznaj typ wzoru
2. Licz wyrazy
3. Szukając numeru wyrazu – rozwiąż równanie
4. Odrzuć nienaturalne rozwiązania

Uważaj

• ✗Liczenie $a_{n+1}$ jako $a_n + 1$ – to zupełnie co innego.
• ✗Pozostawienie ujemnego lub ułamkowego $n$ jako numeru wyrazu.

Ciąg arytmetyczny

• ★ n-ty wyraz:$a_n = a_1 + (n - 1)r$
• ★ Suma n początkowych wyrazów:$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2}\cdot n$
• ★ Trzy kolejne wyrazy:$a, b, c \text{ – arytmetyczny} \iff b = \frac{a + c}{2} \iff 2b = a + c$

Schemat

1. Wypisz dane
2. Wyraź wyrazy przez a₁ i r
3. Rozwiąż równanie lub układ
4. Oblicz, o co pytają

Uważaj

• ✗$a_n = a_1 + nr$ zamiast $a_1 + (n - 1)r$.
• ✗W warunku na trzy wyrazy: $b = a + c$ zamiast $2b = a + c$.

Ciąg geometryczny

• ★ n-ty wyraz:$a_n = a_1\cdot q^{n-1}$
• ★ Suma n początkowych wyrazów:$S_n = a_1\cdot\frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1) \qquad S_n = n\cdot a_1 \quad (q = 1)$
• ★ Trzy kolejne wyrazy:$a, b, c \text{ – geometryczny} \iff b^2 = a\cdot c$

Schemat

1. Wypisz dane
2. Wyraź wyrazy przez a₁ i q
3. Podziel równania stronami
4. Oblicz, o co pytają

Uważaj

• ✗$a_n = a_1\cdot q^n$ zamiast $a_1\cdot q^{n-1}$.
• ✗Z $q^2 = 4$ tylko $q = 2$ – zapominasz o $q = -2$.